二进制转十进制——公式解释答案

【问题标题】：Binary to decimal conversion - formula explanation二进制转十进制——公式解释
【发布时间】：2013-11-06 12:01:30
【问题描述】：

谁能解释一下为什么二进制形式的数字： 111 是 2^3 - 1 ？我知道这个数字是由 1*2^0 + 1*2^1 + 1*2^2 计算的，但我看不到如何从这里到 2^3-1 ...看不到任何权力规则什么的..

【问题讨论】：

【解决方案1】：

数字 2 的一个独特属性是它之前的幂之和等于下一个幂级减去 1。

换句话说：

2^n=2^0+2^1+2^2+...+2^(n-1)+1 for n in (1,2,3...)

如果需要证明，请使用数学归纳法。

基地：n=1; 2^1=2=2^0+1=1+1

假设n=k 的属性2^n=2^0+2^1+...+2^(n-1)+1 满足

对于 n=k+1，你有 2^n=(2^k)*(2^1) 然后应用假设，你有

2^n=(2^0+2^1+...+2^(n-2)+1)*2 产生

2^n=(2^1+2^2+...+2^(n-1)+2)=1+2^0+2^1+...+2^(n-1) 结束了我们的证明。

【讨论】：

【解决方案2】：

这样想，111 比 1000 小 1（二进制为 8）。

【讨论】：

【解决方案3】：

将1 添加到111：结果为1000。

因此，以下是：

111 + 1 = 1000 → 1000 - 1 = 111

现在，1000 是 2<sup>3</sup>，因此：

2³ - 1 = 111

当然，你也可以用任意个1的个数来描述二进制数

【讨论】：

【解决方案4】：

0000 是 0，0001 是 1，0010 是 2。根据二进制数右侧位的位置，该位等于2^(p - 1)，其中p 是该位置。

例如0010 1 是右数第二位。 2^(2 - 1) = 2^1 = 2.

111 是2^3 - 1，因为1000 是2^3 并且111 比1000 少一个单位，因此是2^3 - 1。

顺便说一句，在 python 中，您可以使用0b 作为二进制值的标记。

x = 0b111
y = 2 ** 3 - 1
print(x == y)
>> True

而int()函数可以用来转换二进制字符串

x = int("111", 2) # Base 2
y = 7
print(x == y)
>> True

【讨论】：

【解决方案5】：

碱基B的通式如下：

(B^N + ... + B^1 + B^0)*(B-1) =

(B^(N+1) + ... + B^2 + B^1) - (B^N + ... + B^1 + B^0) =

B^(N+1) - B^0 = B^(N+1)-1

例子：

【讨论】：