计算可分离状态的系数

Question

给定一个可分离的 2-qubit 状态

φ = φ₀ ⊗ φ₁

与

φ_i= a_i0|0> + a_i1|1>

因此可以写成

φ = b₀₀|00> + b₀₁|01> + b₁₀|10> + b_11|11>

与

b_ij = a_0ia_1j.

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现在给定一些 b_ij，即任意 2-qubit 状态

φ = b₀₀|00> + b₀₁|01> + b₁₀|10> + b_11|11>

令 B = (b_ij)。由Schmidt decomposition 有 2x2 矩阵 U、V、Σ，这样

• U、V 酉

• Σ 正半定对角线

• B = U ∘ Σ ∘ V*

设 σ₀, σ₁ 为 Σ 的两个对角元素。

状态 φ = b₀₀|00> + b₀₁|01> + b₁₀|10> + b ₁₁|11> 是纠缠的当且仅当 σ₀ + σ₁ > 1。

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问题

给定一个状态 φ = b₀₀|00> + b₀₁|01> + b₁₀|10> + b₁₁|11>及其施密特分解B = U ∘ Σ ∘ V*，使得σ₀ + σ₁ ≤ 1，即状态为可分离。这意味着有 φ_i= a_i0|0> + a_i1|1>，因此 φ 可以写成

φ = φ₀ ⊗ φ₁

如何从 B = (b_ij) 即从 U、V、Σ 计算 A = (a_ij)？

这是相反的

b_ij = a_0ia_1j

假设 b_ij 定义了一个可分离的状态。

Answer 1

如果给定一个纯状态并承诺它是可分离的，则您不需要 施密特分解来计算各部分。只需将幅度放在网格中，读取一部分的列之间的比例，并读取另一部分的行之间的比例。

也就是说，2-qubit 系统 φ 是可分的，所以 φ = αβ 保证 φ₀₀/φ₀₁ = φ₁₀/φ₁₁ = β₀/β₁ 并且 φ₀₀/φ₁₀ = φ₀₁/φ₁₁ = α₀/α₁。并且知道 α₀/α₁ 足以求解 α，除了全局相位因子。 （注意：如果 α₁ 可能为零，则使用比例 α₀:α₁ 而不是比例 α₀/α₁。）

这可以推广到具有更多量子比特的系统。一个给定的量子比特子集是可分离的，当且仅当按所有其他量子比特分组时，你会得到一堆在它们之间具有一致比例的部分。并且碎片之间的比例限制了除了全局相位因子之外的所有内容。

使用施密特分解作为捷径

施密特分解确实使这更容易。它完成了所有艰难的“重建比例”工作。如果一个纯系统是可分离的，那么它的 SVD 分解应该只有一个非零奇异值，并且那个奇异值应该等于 1。所以你有类似的东西：

  |1 0 0 ...|
U |0 0 0 ...| V
  |0 0 0 ...|
  |... . ...|

但这只是将 U 的第一列乘以 V 的第一行！所以我们有一个具有 n*m 个条目的系统是从一个具有 n 个条目的系统和一个具有 m 个条目的系统创建的……是的，第一列和第一行包含 α 和 β 的幅度。

示例

我的电路模拟器 Quirk 具有内置的在线幅度显示器，可以执行这种分离（不进行 SVD）。你可以see the code that does it on github，虽然它都是基于 GPU 的，所以不是特别清楚。

(这是迄今为止写的最复杂的显示，因为它必须进行分组然后比较所有组。但是有些组可能没有幅度，因此必须忽略它们，并且系统中可能存在噪声从浮动错误，所以你应该专注于大群体和...... blergh。）

您也可以在模拟器中使用它。 Here's an example circuit using those displays:

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