寻找非确定性有限自动机语言

Question

我是二年级和一年级的计算机科学专业学生，我们得到了一个不确定的有限自动机，并询问它接受什么词。

我尝试将其简化为确定性有限自动机，结果如下：

我认为它不接受 b* 或 a 或 a(b+ab*a)* 格式的任何单词，无法弄清楚它们之间的共同点以及它接受的单词，我想了这么多, 它与整个单词无关，仅与开头相关，因为如果单词以 aa 开头，它可以有 a 和 b 的任意组合，它不会被接受。

非常感谢您的帮助。

Answer 1

首先，我会以我自己的方式回答这个问题。然后，我将解决您转换为确定性有限自动机的问题。

我们可以编写一组方程并求解 q2 以查看哪个正则表达式导致该状态。考虑以下系统：

(q1) = (q2)a + e
(q2) = (q1) + (q3)(a + b)
(q3) = (q1)a + (q3)b

我们要解决导致接受状态的原因，所以让我们首先消除不接受状态：

(q1) = (q2)a + e
(q2) = (q2)a + e + (q3)(a + b)
(q3) = (q2)aa + a + (q3)b

为了消除 (q3)，我们可以使用规则 (x) = r + (x)s (x) = rs* 然后代入：

(q1) = (q2)a + e
(q3) = ((q2)aa + e)b*
(q2) = (q2)a + e + ((q2)aa + a)b*(a + b)
     = (q2)a + e + (q2)aab*(a + b) + ab*(a + b)
     = (q2)[a + aab*(a + b)] + [e + ab*(a + b)]
     = (e + ab*(a + b))(a + aab*(a + b))*
     = (e + ab*(a + b))(a(e + ab*(a + b)))*

我们恢复的正则表达式基本上是这样描述的：

通过空转换或通过 q3 到达 q2；然后，通过转到 q1 并重复第一部分回到 q2。您可以根据需要多次执行此操作。

你是怎么写系统的？

1. e可以达到初始状态
2. 如果表达式 r 上存在从状态 q 到状态 q' 的转换，则 q' = (q)r
3. 如果可以通过多种方式达到某个状态，请使用 + 并包含所有方式

要确定一个有限自动机，请考虑每个状态子集并随时添加转换。我们从仅包含初始状态的子集 {q1} 开始。

  /------------------------------------\
  |                               __   |
  V                              /  \  |
{q1} -a-> {q1,q3} -a-> {q1,q2,q3}   a  |
 |           |             |     ^__/  |
 b           b             b           |
 |     __    |             |           |
 V    /  V   V             |           |
{ }   b   {q2,q3} <--------/           |
 ^    \__/      \                      |
 |               \-a->{q1,q2}-----a----/
 |                     |               
 \----------b----------/

添加状态和转换的规则是：

1. 始终添加初始状态 {qi}
2. 对于输入字母表中的每个状态 {q1,q2,...,qn} 和每个符号 x，添加从 {q1,q2,...,qn} 到 {q1',q2', 的转换。 ..,qn'} 在 x 上，其中 q1', q2', ..., qn' 可以从 q1, q2, ..., qn 通过恰好消耗一个 x（可能还有几个 e-transitions）到达
3. 如果状态 {q1',q2',...,qn'} 不在您的自动机中，请添加它，然后在该状态上重复此过程
4. 重复上述操作，直到添加了所有必要的状态，并且所有状态都针对输入字母表中的每个符号进行了转换。

注意：在上面的自动机中，我没有展示死状态 { } 上的转换。所有源自死状态的转换都以死状态终止。

我的 {q1} 类似于你最上面的 (OK)。我的 { } 类似于您的 HOLE。我的 {q1,q3} 类似于您的 NOT。我的 {q2,q3} 类似于你最右边的 OK。

但是 - 我的 {q1,q2,q3} 与您最底层的 OK 不同。为了让你的和我的一样，在符号 b 上添加一个从最底部的 OK 到最右边的 OK 的过渡。

请注意，我的 {q1,q2} 是多余的，相当于我的 {q1}； {q1,q2} 之外的所有转换都与 {q1} 之外的那些转换相同。真的，由于从 q1 到 q2 的电子转换，我应该将 {q1,q2} 设为初始状态，但无论如何 - 你明白了。

您的 DFA 不正确的原因是，在 NFA 中，总是有机会“搞砸”并最终陷入困境。在您的自动机中，您可以到达最底部的 OK 然后进行设置。