如何显示从 RE 中的每种语言到 HP 的减少

Question

如果对于 RE 中的每个 L'，L 被认为是 Hard-RE，则从 L' 减少到 L (L'

如何证明 HP 是完全可重构的？我需要展示从 RE 中的每种语言到 HP 的减少..

Answer 1

（假设 RE 表示 recursively enumerable 而 HP 表示 halting problem）

HP 在 RE 中微不足道

考虑图灵机，给定图灵机 M[a] 的描述 a 和一些输入 b，它只是模拟运行M[a] 输入 b 直到它停止；当它这样做时，它会输出 TRUE。这台机器将输出 TRUE iff M[a] 在 b 时停止，并在 M[a] 时发散分歧;所以它是停止问题的部分决定因素。

HP 是 RE-Hard

也就是说，给定 RE 中的语言 L，它可以简化为 HP：因为 L 在 RE 中，所以存在一个图灵机 M[m(L)] 使得对于任何输入 b, M[m(L)](b) 将执行以下操作之一：

1. 如果 b∈L，则 M[m(L)](b) 停止并输出 TRUE
2. b∉L 和 M[m(L)](b) 停止并输出 FALSE
3. b∉L 和 M[m(L)](b) 发散

那么，在给定 HP 的情况下，我们如何将其变成 L 的正确决策者？十分简单！只需在 (m(L), b) 上运行您的 HP 预言机！

• 如果 HP(m(L), b) 返回 TRUE，我们知道 M[m(L)](b)收敛，所以只需运行它并返回任何 TRUE/FALSE 答案。
• 如果 HP(m(L), b) 返回 s_FALSE_，我们知道 M[m(L)](b) 发散，这是只允许的如果 b∉L （见上面的案例 3）。所以我们然后不运行M[m(L)](b)；相反，我们只输出 FALSE。

因此，HP 是 RE-Complete

Q.E.D.