用于有效地从集合中检索最近元素的数据结构

Question

tl;dr 如何有效地实现像 Mathematica 的 Nearest 这样的东西？

Mathematica 有一个名为 Nearest 的函数，它将获取“事物”列表（它们可以是数字、n 维空间中的坐标、字符串等），并将返回 NearestFunction目的。该对象是一个函数，当应用于x 时，将返回与x 距离最近的列表元素。距离度量可以作为参数传递给Nearest：默认情况下，它对数值数据使用欧几里得距离，对字符串使用某种编辑距离。

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示例（这有望使问题更清楚）：

nf = Nearest[{92, 64, 26, 89, 39, 19, 66, 58, 65, 39}];

nf[50] 将返回58，即最接近50 的元素。 nf[50, 2] 将返回 {58, 39}，这是最接近的两个元素。

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问题：实现此功能的有效方法是什么？ NearestFunction 内部可能使用什么样的数据结构？为不同类型的数据计算最近元素的最佳可能复杂度是多少？

对于一个简单的数字列表，对它们进行排序并进行二进制搜索是可行的，但Nearest 可以处理多维数据以及任意距离函数，所以我想它使用了更通用的东西。但如果它被证明是专门用于某些类型的数据/距离函数，我不会感到惊讶。

Answer 1

对于表现良好的距离函数，有许多专门为此优化的数据结构。对于多维数据，k-d tree（和其他binary space partitioning trees）可以提供出色的nearest-neighbor searches，通常在亚线性时间内。您可能还想查看metric trees，它们是经过优化的树状结构，以支持最近邻搜索的方式将点存储在某些度量空间中。根据特定的度量空间（欧几里得距离、编辑距离等），不同的数据结构可能或多或少是合适的。

对于行为没有限制的任意距离函数（例如，甚至像三角不等式这样的东西），那么你能做的最好的就是线性搜索，因为距离函数可能对于所有点都是无限的除了集合中的一个特定点。

希望这会有所帮助！

Answer 2

这完全取决于数据和指标。在此处阅读所有相关信息：Nearest Neighbour Search