使用重复值快速选择

Question

是否可以在 O(n) 中对多集执行搜索第 k 个元素（值可以重复）？

因为据我了解快速选择的想法，我必须使用一些枢轴对输入进行分区。然后我有 2 个数组，我选择用于递归搜索取决于我正在搜索的索引元素 + 两个数组的大小，例如：

1 7 8 5 3 2 4

假设枢轴是 4 我正在搜索第二大元素。所以分区后我可能会得到类似的订单

1 3 2 4 7 8 5

因为右子数组由 3 个元素组成，如果我是正确的，我仍然会尝试在右数组中找到第二大的元素？

但如果我以 8 为支点，我可能会得到类似的东西

1 3 2 7 5 4 8

因此我会尝试在左表中找到最大的元素（可能是线性的，但通常我会使用左子数组并搜索元素 - (|右子数组大小| + 1)）

但是多重集呢？假设我有数组：

4 5 6 7 7 7 4 3 2 1

我的支点是 6 搜索第三大元素，分区后我收到：

4 5 3 2 4 1 6 7 7 7

所以如果我使用上面介绍的方法，我将尝试在右子数组上执行递归，而很明显第三个最大值是左侧的 5？

我想出的唯一解决方案是使用 BST、Set 等数据结构来 O(nlogn) 过滤掉重复。然后使用 O(n) 快速选择。但是总的来说它会给我非线性方法，这可以线性完成吗？

---

我还有一个额外的问题，如果不能分配内存怎么办？我能做的就是只使用本地整数+堆栈递归。这个问题可以在 O(n) 中解决吗？因为O(nlogn)可以通过排序+线性“遍历计数”来完成。

Answer 1

我认为这取决于您对“第 k 个最大元素”的解释。如果“第 k 个最大元素”的意思是“如果已排序，则该元素将在数组中的位置 k 处”，那么 quickselect 将无需修改即可工作。

另一方面，如果您的意思是“数组中第 k 个最大的不同值”，那么您是正确的，未修改的快速选择将无法正常工作，如您的示例所示。但是，您可以修改算法，使其在预期的 O(n) 时间内工作，方法是将所有元素添加到哈希表中，然后遍历哈希表以获得每个不同值的副本。从那里，您可以在生成的数组上使用正常的快速选择算法，这将需要总共 O(n) 时间的预期。

希望这会有所帮助！