【问题标题】：Delaying Evaluation with Abstractions in the Y-Combinator在 Y-Combinator 中使用抽象来延迟评估
【发布时间】：2018-08-12 00:05:38
【问题描述】：

我在思考延迟评估的工作原理时遇到了一些问题。我试图用 Y-Combinator 来理解它：

如果我们编写一个简单版本的 Y-Combinator，我们会遇到无限递归的问题：

Ysimple = (lambda f : (lambda x : f(x(x))) (lambda x : f(x(x))))

当我们构建递归函数时，问题出现了：

almost_factorial = lambda f : lambda n : 1 if n == 0 else n * f(n-1)

factorial = Ysimp(almost_factorial) # <- infinite recursion

Ysimple = (lambda f : (lambda x : f(x(x))) (lambda x : f(x(x)) ))
[上一行重复了 995 次以上] RecursionError: 最大值超出递归深度

但我们可以将第二个或两个f(x(x))-表达式包装在延迟抽象中：

Ydelay = (lambda f : (lambda x : f(x(x))) (lambda x : f(lambda y: x(x)(y))) )

现在代码可以正常工作了。但为什么呢？

如果我们的文件中只有Ysimple，则不会评估任何内容。所以我假设只有 lambdas 被评估为顶级表达式。

我做了一些手动评估步骤，但我看不出延迟发生的原因：

Ysimple F =  (lambda f : (lambda x : f(x(x))) (lambda x : f(lambda y: x(x)(y)))) F
          -> (lambda x : F(x(x))) (lambda x : F(lambda y: x(x)(y)))
          -> F( (lambda x : F(lambda y: x(x)(y))) (lambda x : F(lambda y: x(x)(y))) )


Ydelay F =  (lambda f : (lambda x : f(x(x))) (lambda x : f(x(x)))) F
         -> (lambda x : F(x(x))) (lambda x : F(x(x)))
         -> F( (lambda x : F(x(x))) (lambda x : F(x(x))) )

这里的延迟发生在哪里？在这两种情况下，F 都是顶级表达式，而且在这两种情况下，lambda x 的级别都低于F。延迟lambda y 起什么作用？

编辑：

同样，为什么延迟在这里的第一行是如何工作的：

(lambda x : x(x)) (lambda y: lambda x : x(x)(y))
(lambda x : x(x)) (lambda x: x(x))

【问题讨论】：

标签： python lambda evaluation delayed-execution fixpoint-combinators

【解决方案1】：

当我们将 lambda 表达式转换为普通函数语法时，整个事情变得更加明显：

def f(x):                       # lambda x : x(x)
    return x(x)

def g(y):                       # lambda y: lambda x : x(x)(y)
    def fg(x):
        return (x(x))(y)
    return fg


f(g) # does not recurse infinitely

当我们手动计算(lambda x : x(x)) (lambda y: (lambda x : x(x))(y))对应的表达式时，我们得到

f(g) = g(g) = lambda x : x(x)(g)

在评估与(lambda x : x(x)) (lambda y: y(y)) 对应的结果时

f(f) = f(f) = f(f) = ...

我们现在可以看到为什么抽象会停止递归。

【讨论】：