计算嵌套 for 循环中的迭代次数答案

【问题标题】：counts iteration in a nest for-loop计算嵌套 for 循环中的迭代次数
【发布时间】：2016-05-20 22:40:30
【问题描述】：

这是伪代码：

for i=1 to n
   for j=1 to n
     for k=1 to j
       x = x+1

我必须计算这两件事（i）精确计算（ii）找到它大O

在(i)中，我的最终答案是n^4+2n^3+5n^2+4n+2。 (ii)中，因为有三个循环，所以是O(n^3);

似乎 (i) 或 (ii) 肯定有错误，因为 (i) 提高到 4 次方，而大 O 只是 3。

这是我计算迭代次数的步骤：

for(i=1; i <=n; i++)

算作 1+(n+1)+n 即 (2n+2)。

所以，(2n+2)+n(2n+2)+n(4+6+8+...+2n+2)+n^2(1+2+3+...+n )(2) 最终得到 n^4（参见最后一项，AS * n 的总和）。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

对于像这样的嵌套循环计算内部循环的迭代次数，Sigma 表示法是一个方便的工具

由于我们通过相等来计算内循环的迭代次数（即，确切地说，没有不等式），我们可以为算法的渐近行为声明更强的 big-Θ 属性。这是在我们将x = x + 1 定义为您的算法的基本操作的假设下（此处适用）。

对于您的算法---比如说T---自然T ∈ Θ(n^3) 意味着渐近上限和下限，分别为T ∈ O(n^3) 和T ∈ Ω(n^3)。

【讨论】：