计算可重复的长度为 n 的二进制字符串的数量答案

【问题标题】：count the number of binary string of length n that is repeatable计算可重复的长度为 n 的二进制字符串的数量
【发布时间】：2016-08-10 14:59:25
【问题描述】：

问题是求长度为n的可重复二进制串的个数。如果二进制串的任意一个子串可以重复自身形成原始二进制串，则该二进制串是可重复的。

Example
"1010" is a repeatable string as it can be obtained from "10" by repeating 2 number of times

"1001" is  not a repeatable string as it cannot be obtained from any sub string of "1001" by repeating them any number of times

我想到的解决方案是生成所有可能的长度为n的二进制字符串，并使用KMP算法检查它是否是可重复的，但是即使对于像n = 40这样的小n，这种解决方案也不可行。

我认为的第二种方法是

对于 n 的除数 k，找到所有长度为 k 且重复 n/k 次的子字符串

例如 n = 6 我们有除数 1,2,3

对于长度 1，我们有 2 个重复的子字符串“1”和“0” 6 所以“111111”和“000000”是可重复的字符串

对于长度 2，我们有 4 个子字符串 "00" "01" "10" "11" 所以 "000000" "010101" "101010" 和 "111111" 是可重复的字符串

对于长度为 3 的类似，我们有 8 个可重复的字符串。

将所有除数生成的字符串相加并减去重复项。

在上面的例子中，字符串“111111”和“000000”对于每个除数都被计算了 3 次。所以很明显我是在计数。我需要减去重复项，但无论如何我都想不出从中减去重复项我的实际计数我该怎么做？

我是朝着正确的方向前进还是需要采取其他方法？

【问题讨论】：

您当前的方法对我来说看起来不错。要弄清楚如何避免两次计算字符串，最好查看（例如 Wikipedia 文章）Inclusion-Exclusion Principle。

标签： string algorithm combinatorics counting

【解决方案1】：

当您使用第二种方案时，删除由可重复二进制文件组成的子字符串。例如，00 和 11 分别由 0 和 1 的重复组成。所以长度为 2 只考虑“01”和“10” 长度为 3 只考虑“001”、“010”、“011”、“100”、“101”、“110” ... 一般来说，对于 n 的奇数长度，删除 0 和 (2^n)-1，对于 n 的偶数长度，删除 0, (2^(n/2)+1), (2^(n/2)+1)2, ...., (2^n)-1 如果 n 可以被 3 整除，则 (1+2^(n/2)+2^(n-2)), (1+2^(n/2)+2^(n-2)) 2、... 对所有分隔线继续此操作。

【讨论】：

【解决方案2】：

一个想法是，如果我们只计算从非重复子字符串生成除数大小的字符串的方法，则除数的除数的计数将说明从重复子字符串生成除数的方法。

f(1) = 0
f(n) = sum(2^d - f(d)), where 1 <= d < n and d divides n

...意思是只有n的除数不能由重复子串组成的方式的总和。

f(2) = 2^1-0
f(3) = 2^1-0
f(4) = 2^1-0 + 2^2-2
f(6) = 2^1-0 + 2^2-2 + 2^3-2
...

【讨论】：