为什么我在 Python 中的 RSA 实现不起作用？答案

【问题标题】：Why is my RSA Implementation in Python not working?为什么我在 Python 中的 RSA 实现不起作用？
【发布时间】：2017-10-18 01:18:57
【问题描述】：

出于学习目的，我正在尝试在 Python 中实现 RSA 公钥加密。我已经看了一些示例代码并搜索了整个 stackoverflow 试图找到答案。

我的实现工作不正常，我不知道为什么。

我可以轻松生成公钥和私钥。当我使用公钥进行加密时，我会得到类似

16102208556492

我认为这看起来是正确的。当我现在尝试解密密文时，它会给我随机的 ASCII 符号。所以我认为解密一定是错误的，但它看起来也很好。

自从几天以来我一直在努力寻找误判！

我从 Darrel Hankerson、Alfred Menezes 和 Scott Vanstone 所著的“椭圆曲线密码学指南”一书中的数学算法开始。

算法 1.1：RSA 密钥对生成

INPUT: Security parameter l
OUTPUT: RSA public key e, private key d and n
1. Randomly select two primes p and q with same bitlength l/2
2. Compute n = pq and phi = (p-1)(q-1)
3. Select an arbitrary integer e with 1 < e < phi and gcd(e, phi)==1
4. Compute the integer d satisfying 1 < d < phi and ed == 1 mod phi
5. Return(n, e, d)

算法 1.2：基本 RSA 加密

INPUT: RSA public key e, n, plaintext m
OUTPUT: Ciphertext c
1. Compute c = m**e mod n
2. Return(c)

算法 1.3：基本 RSA 解密

INPUT: RSA private d, n, ciphertext c
OUTPUT: Plaintext m
1. Compute m = c**d mod n
2. Return(m)

我了解它在数学上是如何工作的，所以我这样实现它：

Python中的算法1.1

# INPUT: Secure parameter l
def Generation(l):
    # Randomly select 2 primes with same Bitlength l/2
    p = Randomly_Select_Prime_w_Bitlength(l/2)
    q = Randomly_Select_Prime_w_Bitlength(l/2)
    # Compute
    n = p * q
    phi = (p - 1) * (q - 1)
    # Select an arbitrary integer e with 1 < e < phi and gcd(e,phi) == 1
    e = int(Arbitrary_Int_e(phi))
    # Compute the integer d satisfying 1 < d < phi and e*d == 1 % phi
    d = inverse(e, n)
    # Return n e d
    print("Public Key: " + str(e))
    print("Private Key: " + str(d))
    print("n = " + str(n))

Python中的算法1.2

# INPUT: RSA public key e, n, message m
def Encryption(e, n, m):
    c = [pow(ord(char),e,n) for char in m]
    print(''.join(map(lambda x: str(x), c)))
    return c

Python中的算法1.3

# INPUT: RSA private key d, n, ciphertext c
def Decryption(d, n, c):
    m =  [chr(pow(char, d, n)) for char in c]
    print(''.join(m))
    return ''.join(m)

我在这里的编码似乎不是很错误，但无论如何，这里或其他功能一定有问题。

这是我的完整 python 代码

# RSA

# Imports
import random

# INPUT: Secure parameter l
def Generation(l):
    # Randomly select 2 primes with same Bitlength l/2
    p = Randomly_Select_Prime_w_Bitlength(l/2)
    q = Randomly_Select_Prime_w_Bitlength(l/2)
    # Compute
    n = p * q
    phi = (p - 1) * (q - 1)
    # Select an arbitrary integer e with 1 < e < phi and gcd(e,phi) == 1
    e = int(Arbitrary_Int_e(phi))
    # Compute the integer d satisfying 1 < d < phi and e*d == 1 % phi
    d = inverse(e, n)
    # Return n e d
    print("Public Key: " + str(e))
    print("Private Key: " + str(d))
    print("n = " + str(n))

# INPUT: RSA public key e, n, message m
def Encryption(e, n, m):
    c = [pow(ord(char),e,n) for char in m]
    print(''.join(map(lambda x: str(x), c)))
    return c

# INPUT: RSA private key d, n, ciphertext c
def Decryption(d, n, c):
    m =  [chr(pow(char, d, n)) for char in c]
    print(''.join(m))
    return ''.join(m)

def mrt(odd_int):
    odd_int = int(odd_int)
    rng = odd_int - 2
    n1 = odd_int - 1
    _a = [i for i in range(2,rng)]
    a = random.choice(_a)
    d = n1 >> 1
    j = 1
    while((d&1)==0):
        d = d >> 1
        j += 1
    t = a
    p = a
    while(d>0):
        d = d>>1
        p = p*p % odd_int
        if(d&1):
            t = t*p % odd_int
    if(t == 1 or t == n1):
        return True
    for i in range(1,j):
        t = t*t % odd_int
        if(t==n1):
            return True
        if(t<=1):
            break
    return False

def gcd(a, b):
    while b:
        a, b = b, a%b
    return a

def Randomly_Select_Prime_w_Bitlength(l):
    prime = random.getrandbits(int(l))
    if (prime % 2 == 1):
        if (mrt(prime)):
            return prime
    return Randomly_Select_Prime_w_Bitlength(l)

def Arbitrary_Int_e(phi):
    _e = [i for i in range(1, phi)]
    e = random.choice(_e)
    if(gcd(e, phi) == 1 % phi):
        return e
    return Arbitrary_Int_e(phi)

def inverse(e, phi):
    a, b, u = 0, phi, 1
    while(e > 0):
        q = b // e
        e, a, b, u = b % e, u, e, a-q*u
    if (b == 1):
        return a % phi
    else:
        print("Must be coprime!")

【问题讨论】：

在我看来，您是在要求 random.getrandbits() 函数生成半位？？不完全确定，但它会在我的系统上引发错误。你的意思是半字节吗？ EDIT 它不是 1，不是很好的变量名选择
不应该是d = inverse(e, phi)而不是d = inverse(e, n)
@MarekKlein 你完全正确！看看stackoverflow.com/a/23280454/7581751 我想它应该是正确的假设： d = inverse(e, phi) 就像我在我的函数中定义的那样。我更改了代码，但仍然无法正常工作。
@MarekKlein 我觉得完全愚蠢，因为它现在运行良好。感谢您的快速评论。你应该给出答案^^我真的很惭愧我自己没有找到这个。该死的。
@s0T7x 同样在你的伪代码中你写了4. Compute the integer d satisfying 1 < d < phi and ed == 1 mod phi。因此，您需要 e mod phi 的模逆。但同样从逻辑的角度来看，n 是公开的，e 是公开的，因此如果可行，任何人都可以计算出应该是私有的 d。

标签： python algorithm encryption cryptography rsa

【解决方案1】：

正如Marek Klein 在他的评论中所说，我用错误的参数调用了 "inverse()" 函数。是d = inverse(e, n) 而不是d = inverse(e, phi)。

但从逻辑的角度来看，n 是公开的，e 是公开的，因此如果可行，任何人都可以计算出应该是私有的 d。

还有squeamish ossifrage指出

函数 Randomly_Select_Prime_w_Bitlength() 经常产生比所需位数少的数字，并且有时会产生运行时错误（因为odd_int 在 mrt() 中太小）。如果 p 和 q 太小，您将无法像预期的那样加密尽可能多的数据。

Randomly_Select_Prime_w_Bitlength() 现在涵盖检查随机素数是否大于 3，因此它不能通过尽可能小来返回运行时错误。

这里是更正后的代码：

# RSA 

# Imports
import random

# INPUT: Secure parameter l
def Generation(l):
    # Randomly select 2 primes with same Bitlength l/2
    p = Randomly_Select_Prime_w_Bitlength(l/2)
    q = Randomly_Select_Prime_w_Bitlength(l/2)
    # Compute
    n = p * q
    phi = (p - 1) * (q - 1)
    # Select an arbitrary integer e with 1 < e < phi and gcd(e,phi) == 1
    e = int(Arbitrary_Int_e(phi))
    # Compute the integer d statisfying 1 < d < phi and e*d == 1 % phi
    d = inverse(e, phi)
    # Return n e d
    print("Public Key: " + str(e))
    print("Private Key: " + str(d))
    print("n = " + str(n))

# INPUT: RSA public key e, n, message m
def Encryption(e, n, m):
    c = [pow(ord(char),e,n) for char in m]
    print(''.join(map(lambda x: str(x), c)))
    return c

# INPUT: RSA private key d, n, ciphertext c
def Decryption(d, n, c):
    m =  [chr(pow(char, d, n)) for char in c]
    print(''.join(m))
    return ''.join(m)

def mrt(odd_int):
    odd_int = int(odd_int)
    rng = odd_int - 2
    n1 = odd_int - 1
    _a = [i for i in range(2,rng)]
    a = random.choice(_a)
    d = n1 >> 1
    j = 1
    while((d&1)==0):
        d = d >> 1
        j += 1
    t = a
    p = a
    while(d>0):
        d = d>>1
        p = p*p % odd_int
        if(d&1):
            t = t*p % odd_int
    if(t == 1 or t == n1):
        return True
    for i in range(1,j):
        t = t*t % odd_int
        if(t==n1):
            return True
        if(t<=1):
            break
    return False

def gcd(a, b):
    while b:
        a, b = b, a%b
    return a

def Randomly_Select_Prime_w_Bitlength(l):
    prime = random.getrandbits(int(l))
    if (prime % 2 == 1 and prime > 3):
        if (mrt(prime)):
            return prime
    return Randomly_Select_Prime_w_Bitlength(l)

def Arbitrary_Int_e(phi):
    _e = [i for i in range(1, phi)]
    e = random.choice(_e)
    if(gcd(e, phi) == 1 % phi):
        return e
    return Arbitrary_Int_e(phi)

def inverse(e, phi):
    a, b, u = 0, phi, 1
    while(e > 0):
        q = b // e
        e, a, b, u = b % e, u, e, a-q*u
    if (b == 1):
        return a % phi
    else:
        print("Must be coprime!")

【讨论】：

【解决方案2】：

在python中有一个更简单的实现RSA的方法：

bits = 2048 # the bit length of the rsa key, must be multiple of 256 and >= 1024
E = 65537 # (default) the encryption exponent to be used [int]
from Crypto.PublicKey import RSA
key = RSA.generate(bits,E)
with open('my_key.pem','w') as file:
    file.write(key.exportKey())
    file.write(key.publickey().exportKey())

Crypto.PublicKey 的使用需要（在 windows CMD 或 mac TERMINAL 中）：

pip install pycrypto

对于一些运行 python 3 的系统（比如我的）：

pip3 install pycrypto

公钥（模数+加密指数）和私钥（解密指数）都是base64格式，可以转换成16进制作他用：

from base64 import b64decode
base64_string = 'AAAAbbbb123456=='
hex_string = b64decode(base64string).hex()

彼此之间在短时间内生成的两个密钥的最高有效数字可能相等：

MIGfMA0GCSqGSIb3DQEBAQUAA4GNADCBiQKBgQCpLVejQvo2xJwx04Oo2qotAge9 wWQDsk62hb0ua8r9+VM837+cArMStt9BoSTOCmNz7cYUXzGjQUsUi7tnHXM+Ddec EG7J3q/w12ox2QN3wTndsW+GO9BD2EHY674t8A3JLSJP/bcD/FGBtjzytyd5hmQJ Fife8rr4sAMkTXwoIwIDAQAB 和（彼此之间约 10 秒） MIGfMA0GCSqGSIb3DQEBAQUAA4GNADCBiQKBgQCz9un7Xq248zlmkwVuXze2tUMy a30BaodLJXYuAktGuiMAFwpprql0N9T06HdiphZmr+hT45gG57ZOlJn/yzN4U30Q DXevDVapq6aYJ/Q21CO2bkLkMjEMy5D4IdwMeBgK+5pJFYETB6TzLfDkEcTQMr++ f7EHosWd0iBGm01cKQIDAQAB

【讨论】：