有人可以向我解释为什么插入排序的最坏情况是 O(n^2) 吗？答案

【问题标题】：Can someone explain to me why the worst case for insertion sort is O(n^2)?有人可以向我解释为什么插入排序的最坏情况是 O(n^2) 吗？
【发布时间】：2014-02-08 07:36:51
【问题描述】：

在找到插入排序的最坏情况分析时，有人可以逐步解释我们如何得到 O(N^2) 吗？我目前正在阅读 Cormen Intro to Algorithms 一书中的解释，但解释有点令人困惑。

【问题讨论】：

也许this site 会有所帮助。

标签： algorithm sorting big-o insertion-sort

【解决方案1】：

简而言之，最坏情况是您的列表与您需要的完全相反的顺序。在这种情况下：

当然，对于第一项，您进行了 0 次比较。
对于第二个项目，你将它与第一个项目进行比较，发现它们的位置不对；您进行了 1 次比较。
对于第三个，将其与两者进行比较，发现第三个必须到顶部。您进行了 2 次比较。
继续；对于以下每个值，您再进行一次比较。
最后，对于第 n 个项目，您进行 n - 1 次比较。

如果您将最坏情况下的比较次数加起来，您会发现它是0 + 1 + 2 + ... + n-1，它等于(n^2 - n) / 2 最坏情况下的比较次数，即是 O(n^2)。（决定复杂度的部分是当我们考虑大n时，在这种情况下n^2项占主导地位）

【讨论】：

是的，我知道出了什么问题。我没有完全理解插入排序是如何工作的，这就是我感到困惑的原因。我在想，每次将一个元素放在正确的位置时，数组都会再次从头开始并比较每个元素（包括已经排序的元素）。这显然没有意义
啊，我明白了。老实说，在看到您的问题之前，我不知道插入排序是什么，而我只是偶然发现了我在给您留下的评论中添加的链接。我为我和你一样回答了你的问题。

【解决方案2】：

插入排序在几乎已排序的输入上工作得很快，因此要进行最坏情况分析，您可以使用数字降序排列的数组。好像数字是按降序排列的，那么您需要在第 i 次迭代中移动 (i-1) 个数字，因此 T(n) = sum(i-1) for i in range(1,n) = n*(n-1)/2 = O(n^2)

【讨论】：

【解决方案3】：

让伪代码：

for i = 1 to length(A)
    x = A[i]
    j = i - 1
    while j >= 0 and A[j] > x
        A[j+1] = A[j]
        j = j - 1
    end while
    A[j+1] = x
 end for

插入排序的复杂性

插入排序在最佳情况下以 O(n) 时间运行，在最坏和平均情况下以 O(n^2) 时间运行。

最佳案例分析：

插入排序执行两个操作：它扫描列表，比较每对元素，以及交换元素如果它们不在秩序。每个操作都会影响算法的运行时间。

如果输入数组已经排好序，插入排序比较O(n)个元素并执行无交换（在伪代码中上面，永远不会触发内部循环）。 因此，在最好的情况下，插入排序在 O(n) 时间内运行。

最坏情况和平均情况分析：

当输入列表按降序排列时，会发生插入排序的最坏情况。 要插入最后一个元素，我们需要最多 n-1 个比较和最多 n-1 个交换。要插入 第二个到最后一个元素，我们需要最多n-2次比较和最多n-2次交换，依此类推。操作次数因此，执行插入排序所需的为：2 × (1+2+⋯+n−2+n−1)。

要计算此算法的递归关系，请使用以下命令：

2(n-1)(n-1+1)/2 =n(n-1)

使用主定理解决此递归运行时间。不出所料，算法的复杂度是O(n^2)

在分析算法时，平均情况通常与最坏情况具有相同的复杂性。因此，插入排序平均需要 O(n^2) 时间。

插入排序具有快速的最佳情况运行时间，并且是一种很好的排序算法，如果输入列表已经大部分排序。对于更大或更多的无序列表，具有最坏和平均情况运行时间的算法（例如合并排序）会更好选择。

插入排序是一种空间复杂度为 O(1) 的稳定排序。

【讨论】：