计算 k 长度的源到目标路径答案

【问题标题】：Counting source to destination path of k length计算 k 长度的源到目标路径
【发布时间】：2015-03-10 10:33:05
【问题描述】：

HERE作者讨论了三种方法来计算k长度的源到目标路径。我无法及时获得基于分而治之方法并声称为 O(V^3logk) 的最后一种方法。

我们也可以用分治法来解决上面的问题 O(V^3Logk) 时间。从 u 到 v 的长度为 k 的步行次数为 [u][v]'th entry in (graph[V][V])^k.我们可以通过做计算功率 O(Logk) 乘法通过使用分而治之技术来计算功率。两个大小为 V x V 的矩阵之间的乘法需要 O(V^3) 时间。因此该方法的总体时间复杂度为 O(V3Logk)。

特别是上面写着的那一行

从 u 到 v 的长度为 k 的步行计数是第 [u][v] 的条目 (图[V][V])^k

【问题讨论】：

标签： algorithm graph divide-and-conquer

【解决方案1】：

如果您使用邻接矩阵来表示图形（假设为 M），则 M^k 是表示每对节点之间大小为 k 的路径数的矩阵。您可以使用 O(log k) 矩阵乘法计算 M^k（每次需要 O(V^3) 时间）。

这是一种分而治之的算法，因为要计算 M^k，您可以计算 M' = M^(k/2) 然后 M^k = M' x M'（或 M' x M' x M，如果k 不能被 2 整除。

这是一个在 O(log k) 乘法中计算 M^k 的示例：

def matrix_mul(A, B):
    return [[
           sum(x * B[i][col] for i,x in enumerate(row)) for col in range(len(B[0]))
    ] for row in A]

def matrix_pow(M, k):
    if k==1: return M
    M2 = matrix_pow(M, k/2)
    M2 = matrix_mul(M2, M2)

    if k%2==1: M2 = matrix_mul(M2, M)
    return M2

M = [[0,1,1,0,1,0,0,0],
     [0,0,0,0,1,1,0,0],
     [0,0,0,1,0,0,0,0],
     [0,0,0,0,0,1,1,0],
     [0,0,0,0,0,0,0,0],
     [0,0,0,0,1,0,0,0],
     [1,0,1,0,0,0,0,0],
     [0,0,0,1,0,0,0,0]]

for i in range(1, 10):
    print 'Paths from 7 to 2 of size', i, '=', matrix_pow(M, i)[6][1]

哪些输出：

Paths from 7 to 2 of size 1 = 0
Paths from 7 to 2 of size 2 = 1
Paths from 7 to 2 of size 3 = 0
Paths from 7 to 2 of size 4 = 0
Paths from 7 to 2 of size 5 = 1
Paths from 7 to 2 of size 6 = 1
Paths from 7 to 2 of size 7 = 0
Paths from 7 to 2 of size 8 = 1
Paths from 7 to 2 of size 9 = 2

【讨论】：

谢谢。没有得到 - “您可以使用 O(log k) 矩阵乘法计算 M^k。” ?
矩阵乘法是一种关联运算，您可以按任意顺序进行。您可以使用Exponentiation by Squaring 解决它。
谢谢。只是最后一个问题。这里cpsc.ualr.edu/srini/DM/chapters/examples/ans5.3.2.html。 .从 7 到 2 的长度为 2 只有一条路径。F^3、F^4 中的 entry[7][2] 仍然是 1 吗？我在这里想念什么。如果 M^k 表示长度为 k 的路径数 .. entry[7][2] 在 F^3、F^4 等中应该为 0。
该页面中的矩阵不是 F^3、F^4 等，它们只是 Warshal 算法的迭代。将答案中的示例更改为使用该矩阵进行计算。实际上有大小为 2、5、6、8 的路径，两条大小为 9 的路径，等等。