这是一个非多项式问题吗？如果不是，如何在多项式时间内解决？

Question

问题：

编写一个有 2 个输入参数的函数：

• items：2 元组正整数的列表/向量（即 >= 1）
• target：正整数（即 >= 1）

找到一个元组子集，这样：

• 子集的第一个元组元素之和大于或等于输入target。
• 子集的第二个元组元素的总和是minimal，我们称这个总和值为best。

该函数应该只返回best。此外，保证有解决方案。换句话说，所有第一个元组元素的总和总是大于或等于目标。

这是这样一个函数的伪代码签名：

(items: List<(int, int)>, target: int) -> int

这里有一些例子……

示例 A：

• 项目 = [(25,50), (49,51), (25,50), (1,100)]
• 目标 = 50
• 回答 = 100

示例 B：

• 项目 = [(25,50), (49,51), (25,50), (1,5)]
• 目标 = 50
• 回答 = 56

这是我简单的指数时间解决方案：

1. 遍历所有可能的子集（因此是指数时间）
2. 对于每个子集，计算第一个元组元素的总和
3. 如果该总和大于或等于目标，则计算第二个元组元素的总和
4. 如果新的总和是迄今为止找到的最小的，则更新最小值

我还尝试确定问题的数学属性是否允许使用快捷方式，例如按最大的“第一个元素除以第二个元素”比率检查项目（最划算）。但是，正如示例 A 所示，这并非对所有情况都有效。

这是一个非多项式问题吗？如果不是，如何在多项式时间内求解？

Answer 1

这是一个0-1背包问题：https://en.wikipedia.org/wiki/Knapsack_problem

元组是项目，第一个元组元素是项目值，第二个元组元素是项目权重。经典的背包询问“best 是否小于某个特定限制。

因此，这个问题是 NP 完全的，没有多项式时间解。

有正常的动态规划解决方案可以适应在 O(items.length * best) 中工作。最简单的方法是使用普通的 DP 方法，首先对 best 设置一个较小的限制，然后将其加倍，直到可以达到目标值。