MergeSort - 将一个序列分成 2 个不相等的子序列答案

【问题标题】：MergeSort - Divide a sequence in 2 sub sequences not equalMergeSort - 将一个序列分成 2 个不相等的子序列
【发布时间】：2014-07-26 17:58:55
【问题描述】：

一个测试题：

数组的划分不规则。数组将被分成 2 个不相等的子序列：

计算归并排序的成本。

当分工不规律时，我该如何解决/处理此类问题？

mid = (start + last)/3;
mergesort (array , start , mid);
mergesort (array , mid+1 , last); 
fusione (array , start , mid , last); cost =  theta(n)

【问题讨论】：

应该还是 O(log n)
在正常情况下：我有 1 个序列，每个级别都除以 2。所以如果我去主定理，我意识到合并排序（2 个递归调用）+ fusione 的成本, 成本 Theta (n^e log n) 其中 (e = 1) 所以，我会得到 , Theta (n log n)。但是，如果我转向我的情况，我知道我将序列分成 2，但它们的大小并不相等。将原始序列分成 2 个不相等的大小，导致算法的运行速度比原始版本慢，因为每次得到不同的部分。

【解决方案1】：

让我们从写出递归关系开始。您会将问题拆分为大小为 n / 3 和 2n / 3 的子数组，然后在合并步骤中仍然进行线性工作以组合它们。这给出了复发

T(0) = 1

T(n) = T(n / 3) + T(2n / 3) + Θ(n)

现在的问题是如何解决递归关系。我将声称这是 Θ(n log n)。为了看到这一点，我们将使用递归树方法证明它是 Ω(n log n) 并且是 O(n log n)。

考虑使用递归树扩展此递归。请注意

顶层做 Θ(n) 工作。
下一层有一个大小为 n / 3 的子调用和一个大小为 2n / 3 的子调用，它们共同完成 Θ(n) 工作。
下面的层有一个大小为 n / 9 的子调用、一个大小为 2n / 9 的子调用、一个大小为 2n / 9 的第二个子调用和一个大小为 4n / 9 的最终子调用。总的来说，它们做 Θ(n ) 工作。

更一般地说，直到 n / 3 个分支死亡为止，树的顶层都做 Θ(n) 工作。在你开始停止递归之前的层数大约是 log₃ n，所以完成的工作至少是 Ω(n log n)，因为 Θ(log n) 层做 Θ( n) 工作。

您还可以注意到，每层的工作量总是 O(n)，因为子问题的大小总是不大于上一层子问题的大小（前几层相等，然后下降随着这些层脱落）。因此，上限将为 O(nL)，其中 L 是总层数。最慢的收缩问题在每层收缩 2/3，因此总共会有 O(log n) 层。这给出了 O(n log n) 的上限。

由于工作是 O(n log n) 和 Ω(n log n)，因此是 Θ(n log n)。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

超级帖子，非常感谢您把它表达得这么好。
非常感谢你向我解释了这一切，它非常有帮助，我想用数学方法证明它，这对我来说有点难，所以我想我们会一起做的。顺便说一句，我画了递归树——前 3 个递归调用。 T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + Θ(n) -> ((Θ(n) 将被替换为 c*n)
这里有一个提示：写 T(n) = cn log n + dn + k 并尝试使用归纳法。我会把剩下的留作练习，因为这看起来像是一个家庭作业问题。

【解决方案2】：

正确答案是 - n log_3/2 n

因为它是T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + Θ(n)方程的结果

【讨论】：