用于进行更改的分而治之的递归解决方案

Question

我正在尝试实现一个分而治之的程序，当给定硬币集 c = {c0, c1,...,cn} 和金额 A 时，它会找到可以支付 A 的多种不同方式，如以及函数被递归了多少次。

我的想法是做这样的事情：

callsMade = 0
coins = [1,5,10,25]

def makeChange(A, c):
    global callsMade
    callsMade += 1
    if(A == 0):
        return 1
    if(A < 0):
        return 0
    combos = 0
    for i in range(len(coins)):
        combos += makeChange(A - coins[i], i)
    return combos

其中 A 是传入的金额，c = len(coins)-1。 不过，这段代码的 sn-p 行为并不像我预期的那样。我的思考过程是循环遍历硬币数组，用数组中那个位置的硬币减去当前数量，然后递归调用 makeChange 函数，用较低的数量和数组中的下一个硬币，然后将全局调用每个增加 1时间。

使用硬币集 = [1,5,10,25] 和金额 A = 200，组合的数量应该是 1463，大约有 1500 次调用。

Answer 1

重复关系看起来像这样（为简洁起见，我删除了调用计数器）：

def makeChange(A, coins, k=0):
    if A == 0: return 1
    if A <  0: return 0
    return sum(makeChange(A - coins[i], coins, i) for i in range(k, len(coins)))

也就是说，你不要考虑小于你已经拿走的硬币，否则你会得到像[1, 1, 5]和[1, 5, 1]这样的组合。有了这个，我得到了 makeChange(200, (1,5,10,25)) 的 1463 个组合，总共有 111491 个调用——比你预期的要多一点。

请注意，此函数将多次计算许多组合。例如，您可以通过[1,5] 或[1,1,1,1,1,1] 访问A=194，以此类推，但makeChange(194, coins, k=1) 的结果对于两种方式都是相同的。您可以使用functools.lru_cache 自动记住这些值。这样，您只需 801 次调用即可获得相同的结果。

@functools.lru_cache(None)
def makeChange(A, coins, k=0):
    # same as above

（对于记忆，你必须包含coins作为参数（作为tuple，而不是list，以便可散列），否则它会将结果重用于一组不同的硬币.)

Answer 2

基本思路是对的，但是你需要考虑递归的一些问题，以及你想把什么算作正确答案。

如果你简单开始，你可以问[1,5,10,25]有多少个组合应该等于6：

应该是3:
[1, 1, 1, 1, 1, 1], [5, 1], [1, 5]?
或 2:
[1, 1, 1, 1, 1, 1], [1, 5]?

两个对我来说最有意义。为此，您需要将硬币数组的一个子集传递回递归，因此当您在 for 循环中查看 5 时，您不会再次考虑 [5, 1] — 假设您此时已经计算了 [1, 5] .不要传递未使用的c 参数，而是传递coins 列表。然后在循环中管理该列表。在这里我添加了一个额外的参数cur 来收集组合只是为了帮助检查工作。如果您只想要计数，则不需要它。

def makeChange(A, coins, cur = None):
    ''' This will also collect the combinations to check the work'''
    if cur is None:
        cur = []
    global callsMade
    callsMade += 1
    if(A == 0):
        print(cur)
        return 1
    if(A < 0):
        return 0
    combos = 0
    for i, coin in enumerate(coins):
        if coin > A: # don't bother if coin is too big
            continue
        # pass a subset of the list into recursion
        combos += makeChange(A - coin, coins[i:], cur + [coin])
    return combos

coinset = [1,5,10,25]
A = 10
makeChange(A, coinset)

结果：

[1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1]
[1, 1, 1, 1, 1, 5]
[5, 5]
[10]
Out[456]:
4

将A 设置为200 显示1463 组合。