Karatsuba 乘法改进

Question

我已经为我的教育目标实施了 Karatsuba 乘法算法。现在我正在寻找进一步的改进。我已经实现了某种长算法，无论我使用的整数表示的基数不超过 100，它都能很好地工作。 以 10 为基数并使用 clang++ -O3 范围内两个随机整数的乘积进行编译 [10^50000, 10^50001] 需要：

Naive algorithm took me 1967 cycles (1.967 seconds)
Karatsuba algorithm took me 400 cycles (0.4 seconds)

以及以 100 为底的相同数字：

Naive algorithm took me 409 cycles (0.409 seconds)
Karatsuba algorithm took me 140 cycles (0.14 seconds)

有没有办法改善这个结果？ 现在我使用这样的函数来完成我的结果：

void finalize(vector<int>& res) {
    for (int i = 0; i < res.size(); ++i) {
        res[i + 1] += res[i] / base;
        res[i] %= base;
    }
}

正如您所见，它计算进位并将其推到下一位。如果我以>=1000 为基数，结果将溢出。

如果您在我的代码中看到，我使用 int 向量来表示长整数。根据我的基础，一个数字将分成矢量的不同部分。 现在我看到了几个选项：

• 对向量使用long long 类型，但对于大长度整数也可能会溢出
• 在长算术中实现进位表示

在我看到一些评论后，我决定扩大这个问题。假设我们要将长整数表示为整数向量。例如：

ULLONG_MAX = 18446744073709551615

对于输入，我们传递第 210 个斐波那契数 34507973060837282187130139035400899082304280，它不适合任何标准类型。如果我们用一个基数为 10000000 的 int 向量来表示它，它会是这样的：

v[0]: 2304280
v[1]: 89908
v[2]: 1390354
v[3]: 2187130
v[4]: 6083728
v[5]: 5079730
v[6]: 34

当我们做乘法时，我们可能会得到（为简单起见，让它是两个相同的数字） (34507973060837282187130139035400899082304280)^2:

v[0] * v[0] = 5309706318400
...
v[0] * v[4] = 14018612755840
...

这只是第一行，我们必须这样做六个步骤。当然，在乘法过程中或进位计算后，某些步骤会导致溢出。

如果我遗漏了什么，请告诉我，我会更改它。 如果你想看完整版，在我的github

Answer 1

Base 2^64 和 base 2^32 是最流行的高精度算术基础。通常，数字存储在 unsigned 整数类型中，因为它们在溢出方面具有良好的语义。

例如，可以从加法中检测进位，如下所示：

uint64_t x, y; // initialize somehow
uint64_t sum = x + y;
uint64_t carry = sum < x; // 1 if true, 0 if false

另外，汇编语言通常有一些“带进位相加”指令；如果您可以编写内联汇编（或可以访问内在函数），则可以利用这些。

对于乘法，大多数计算机都有可以计算一个机器字 -> 两个机器字乘积的机器指令；有时，获得两半的指令称为“乘高”和“乘低”。您需要编写程序集来获取它们，尽管许多编译器提供更大的整数类型，使用这些类型可以让您访问这些指令：例如在gcc 中，您可以实现 multiply hi as

uint64_t mulhi(uint64_t x, uint64_t y)
{
    return ((__uint128_t) x * y) >> 64;
}

当人们不能使用它时，他们会在 2^32 中进行乘法运算，以便他们可以使用相同的方法来实现可移植的 mulhi 指令，使用 uint64_t 作为两位数类型。

如果您想编写高效的代码，您确实需要利用这些更大的乘法指令。基数 2^32 中的数字相乘比基数 10 中的数字相乘要强大 90 倍以上。以 2^64 为基数的数字相乘比这强大四倍。而且您的计算机可能比您为基数为 10 的乘法实现的任何东西都更快。