如何解决 ??????(????) = 2????(??????/2) +1 用替换方法

Question

这里我得到了一个递归函数，我想用 Substitution Method （数学归纳法）解决这个问题（求时间复杂度）。

????(????) = 2????(????/2) +1

在提到的问题中，我们的猜测应该是 Ω(log n) 。实际上我用数学归纳法证明了 T(n) = O(n) 然后因为 n = Ω(log n) 所以 T(n ) 也是。但我没有成功证明它正确。

我已经看到了之前询问过的这个函数的所有答案，但没有用 Substitution Method 解决。你能帮我用这种方式证明吗？

Answer 1

你的策略是正确的。我们通过归纳证明T(n) = Theta(n)。

我们假设 w.l.o.g.初始条件T(n) = 1。

归纳假设：T(n) = 2n - 1.

基本情况：T(1) = 1 = 2 * 1 - 1。

归纳案例：

T(n) = 2T(n/2) + 1
     = 2 (2n/2 - 1) + 1 (inductive hypothesis)
     = 2n - 1 (QED)

因此T(n) = Theta(n)，然后从那里跟随例如那T(n) = Omega(log n)等等。