假设我们有 n 个进程组成一个通用网络。我们不知道哪些是连接在一起的，但我们知道进程的数量（n）。如果在每一轮，一个进程向它所连接的所有进程发送一条消息，从它们中的每个进程接收 1 条消息，然后程序执行了r轮，有没有办法知道程序执行期间发送了多少条消息？
【问题讨论】：
标签： networking process distributed rounding
正如您所指出的，如果没有确切的网络结构，就不可能为发送的消息数量设定一个特定值。相反，我们可以查看它的 Big-O 值。
现在要清楚我们所说的 Big-O 是什么意思：
N / 2 其他进程），我们必须假设最坏的情况所以让我们假设最坏的情况，每个进程都连接到N - 1 其他进程。
让我们也定义一些变量：
S := 进程集N := S 中的进程数
我们可以将集合S 表示为一个完整的无向图（每个节点都连接到每个其他节点），其中图中的每个节点对应一个进程，图中的每条边对应发送的 2 条消息（1外传和一个回复）。
从here，我们看到一个完整图中的边数是(N(N-1))/2
所以在最坏的情况下，发送的消息数量是N(N-1)，或者N^2 - N。
现在因为我们正在处理 Big-O 表示法，所以我们对这个值如何作为 N 的函数增长感兴趣。
通过三角不等式，我们可以看出O(N^2 - N)是O(N^2)的一个元素。
因此，在最坏的情况下，发送的消息数量会增长为N^2。
也可以使用邻接矩阵得出此结果，即N x N 矩阵，其中(i, j)th 元素中的1 指的是从节点i 到节点j 的边.
因为在原始问题中，每个进程都向所有连接的进程发送一条消息，这些进程用一条消息进行响应，我们可以看到对于每一对 (i, j) 和 (j, i) 都会有一条边（一个代表传出消息，一个回复）。例外情况是i = j 的对，即。我们一个进程不会向自己发送消息。
所以除了对角线之外，矩阵将完全被1s 填充。
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
上图：N = 4 的邻接矩阵。
所以我们首先要确定一个公式，将发送的消息总数作为节点数的函数。
通过矩形的面积，我们可以看到矩阵中1s 的数量（忽略对角线）将是N x N = N^2。
现在我们必须考虑对角线。可以存在的对 (x, x) 的数量由函数 f(i) where Z(N) -> Z(N) x Z(N) : f(i) = (i, i) 给出——这意味着该函数将有恰好 N 个不同的解。
所以总体结果是当考虑对角线时我们有N^2 - N 消息。
现在，我们使用与上面相同的 Big-O 推理得出相同的结论，消息数量在最坏的情况下增长为 O(N^2)。
所以，现在您只需要考虑已经发生的轮数，剩下 O(RN^2)。
当然现在你必须考虑你是否真的有最坏的情况......
【讨论】：