分治算法对列表进行排序，其中每个元素距其排序位置的根（n）答案

【问题标题】：Divide and conquer algorithm to sort a list where each element is root(n) away from its sorted position分治算法对列表进行排序，其中每个元素距其排序位置的根（n）
【发布时间】：2023-03-10 14:28:02
【问题描述】：

我被一个问题困住了，我只需要一个大方向的提示/点（不要求答案）

该问题询问分治算法的详细信息，该算法给定一个几乎已排序的序列，在 O(n) 时间内产生正确的顺序。

他们所说的几乎排序的意思是给定列表

x_1, x_2, .... x_n

如果排序列表由

表示

y_1, y_2, ... y_n

对于每一个 i, j

x_i == y_j && |i-j|

我想到的唯一一件事是将列表划分为每个级别的 root(n) 组（这将导致它们在第一次拆分时最多为 root(n)），但我不是太确定从那里去哪里，因为你必须在递归备份时一次加入 root(n) 个元素。

我还发现递归复杂度方程是：

T(n) = root(n) * T(n/root(n)) + d * root(n)

master's theorem 可以证明是 O(n) 时间。

所以看起来我在拆分方面走在正确的轨道上，我只是不确定是否应该以特殊方式拆分或比较某种方式或什么。

编辑：所以应该这是正确的答案。

我们的算法如下：如果 n > 1，那么我们递归地对序列的两半（近似）进行排序；现在所有元素都在正确的位置，除了中间的√n个位置（你明白为什么这是真的吗？）；所以我们现在对这些位置的元素进行合并。如果我们让 T(n) 是用于对 n 个元素进行排序的时间，那么对于 n > 1，我们有

T(n)≤2T(⌈n=2⌉) +c * √n

由于 √(n) = n^.5 和 .5 22，分治递归主定理告诉我们 T(n) ∈O(n)。

我不确定我是否同意，因为排序两半的时间是 O(ⁿ⁄₂ * log(ⁿ ⁄₂)) 结果为 O(n*logn)，最终合并为 O(√n * √n)，即 O(n)，总共为 O(n *logn + n) -> O(n*logn)

【问题讨论】：

有点不对劲——每个比较排序都需要 Ω(n log n) 次比较来对 √n 个包含 √n 个元素的列表进行排序。
条件 x_i == x_j 看起来很可疑......
更正版本：列表 x(1), ..., x(n) 几乎已排序 如果存在排列 pi 使得 x(pi(1) )
@WolframH 你说得对，应该是 x_i == y_j，我现在已经更正了
我可能使问题过于复杂，并且可能暗示对问题有更严格的限制。但是你不能用合并排序来做到这一点。我们知道，在最坏的情况下，一个元素只需要与 2*root(n) 个其他元素进行比较。然后我们得到 T(n) = 2*T(n/2) + 2*root(n) 的修改归并排序递归，由 masters 定理给出 O(n)。还是我错过了什么？

标签： algorithm divide-and-conquer

【解决方案1】：

这种算法可用于在 O(r*r) 时间内对 r 个项目的 r 个列表进行排序，只需连接列表（并在必要时装饰元素）。但是，众所周知，对于 n = r * r，您不能做得比 O(r*r*ln(r)) 或 O(n * ln(n)) 更好。

我猜要么是原始问题有点不同，要么是向您提供原始问题的人在计算复杂度时犯了错误。例如，假设当列表被分成两半时，这两部分仍然几乎排序。（有一些方法可以通过这种方式拆分列表，比如取第二个元素，但不是列表的每个分区都会有这个属性。）

【讨论】：

就是这样。他假设已分类的财产持有。他最终撤回了作业中的问题

【解决方案2】：

我认为基于比较的排序不可能在 O(n) 中进行。

考虑一个简化的问题，将排序后的数组分成√n个桶，每个桶内的元素被打乱。满足每个元素距离其最终点不超过 √n 个位置的条件。

要解决此问题，您必须对每个存储桶进行排序。使用任何O(n*logn) 排序，您将得到 √n * (√n*log√n)。这是 (1/2)*n*logn，仍然是 O(n*logn)。

由于这个简化的问题只能在O(n*logn) 中解决，所以我得出结论，使用基于比较的排序来解决O(n) 中的原始问题是不可能的。

例如，如果您知道所有元素都是某个范围内的整数，那么您将不再局限于基于比较的排序，并且可能能够使用非基于比较的排序解决O(n) 中的问题，比如pigeon sort。

【讨论】：

【解决方案3】：

第一条线索：T(n) = root(n) * T(n/root(n)) + d * root(n) 不正确。因为它是一个递归函数，所以它不适用于 T(root(n))。

【讨论】：

它必须是：设 k 为原始列表中的元素数，然后 T(n) = root(k) * T(n/root(k)) + d * root(n) 这将给出 O(n) 但也意味着只会有两个递归调用，因为第一个递归调用将是 T(n/root(k)) = T(root(k)) （因为n = k)，然后第二次调用将是 T(root(k)/root(k))，即 T(1)。但现在我只是觉得我在强迫事情发挥作用。