Matlab：计算时间序列模型的协方差矩阵的逆

Question

是一个单变量自回归 AR 模型，阶数为 p = 2，数据样本 N 由 u 激发，这是一个高斯零均值噪声和方差 sigma_u^2。

我知道函数cov(x)，但我如何使用它来获得 pxp 协方差矩阵 C(n) 及其逆矩阵，即 AR 模型系数的 S(n) = C(n)。逆协方差矩阵的数学公式 S(n) 表示为

其中 A_1 和 A_2 是下三角托普利茨矩阵。

可以直接pinv(Cov(coefficients))吗？我也不确定如何将参数作为 AR 系数传递给函数。

如何实现这个公式？谢谢你的帮助

Answer 1

正如其他人所指出的那样，您的问题完全是错误的，所以我鼓励您先阅读并考虑您真正想做的事情。尽管如此，我可以提供一些指导，这实际上与理顺概念而不是编程有关。根据问题和 cmets，您的问题应改写为“如何估计 AR(n) 模型的参数的协方差矩阵，其中参数是通过最大似然估计获得的？”在这种情况下，我们可以回答如下。

1. 为了便于讨论，我们首先生成一些测试数据。

>> rng(0);
>> n = 10000;
>> x = rand(n,2);

1. 首先通过运行OLS智能获取初始条件。这就是大多数人无论如何估计自回归的方式（几乎所有关于向量自回归的文献），并且 OLS 和 MLE 在某些条件下是渐近等效的。如果您想包含一个常数（如果您正在使用非贬低数据，您想要这样做），请包含一列零。在输出中，b 是您的参数估计向量，C 是相应的标准误差向量。

>> X = [x,ones(n,1)];
>> [b,C]=lscov(X,y)

b =

    4.9825
    9.9501
   20.0227


C =

    0.0347
    0.0345
    0.0266

1. 在进行最大可能性之前，您首先需要一个可能性。我们可以构造一个作为几个简单匿名函数的组合。我们还需要构建一个包含预测误差标准差的初始条件向量，因为这是我们将使用 MLE 估计的事情之一。在这种情况下，我将假设您想要一个正态分布的错误，并以此为基础，但您没有说，当然可以选择任何东西（没有正态分布的错误通常是不这样做的动机OLS)。此外，由于我们使用的是最小化例程，因此我将建立一个负对数似然。

>> err = @(b) y - X*b

err = 

    @(b)y-X*b

>> std(err(b))

ans =

    0.9998

>> b0 = [b; std(err(b))];
>> nll = @(b) (n/2)*log(2*pi*b(end)^2) + (1/(2*b(end)^2))*sum(err(b(1:end-1)).^2);

4. 接下来使用某种类型的最小化例程（例如，fminsearch、fminunc 等）来执行 MLE。

>> bmle = fminsearch(nll,b0)

bmle =

    4.9825
    9.9501
   20.0227
    0.9997

不出所料，估计值几乎与我们在 OLS 下获得的结果相同，这正是我们在误差呈正态分布时所期望的，这就是为什么大多数人选择只做 OLS，除非有一些令人信服的理由认为错误是非正常的。协方差矩阵可以通过分数的外积来估计，这在Normal情况下是一个特别简单的表达式。

>> inv(X'*X/bmle(end))

ans =

    0.0012    0.0000   -0.0006
    0.0000    0.0012   -0.0006
   -0.0006   -0.0006    0.0007

最后，标准误与我们在最小二乘情况下得到的相匹配。

>> sqrt(diag(inv(X'*X/bmle(end))))

ans =

    0.0347
    0.0345
    0.0266

编辑：抱歉，我刚刚意识到我的测试数据是横截面数据而不是时间序列数据。我会尽快解决这个问题。但是估计模型的方法保持不变。