多项式时间复杂度

Question

这是来自here的代码

ub4 additive(char *key, ub4 len, ub4 prime)
{
  ub4 hash, i;
  for (hash=len, i=0; i<len; ++i) 
    hash += key[i];
  return (hash % prime);
}

他们说这需要 5n+3 条指令。他们是怎么计算的？应该怎么计算？

Answer 1

在循环内部，每次迭代都有 5 个操作：

1. 比较i<len
2. 获取索引key[i]
3. 添加hash + key[i]
4. 分配到hash
5. 递增++i

您的循环运行n 次，因此5n

在循环之外，你有 3 个操作：

1. 将 len 分配到哈希 hash=len
2. 将 0 赋值给 i i=0
3. 执行hash % prime

因此，5n + 3。

Answer 2

让我们开始数指令吧。

1. hash=len 和 i=0 无论如何都会执行一次，所以我们至少有 2 条指令。
2. hash % prime 和 return 至少执行一次，因此这是 1 条或 2 条指令（取决于您是否将“return”计为指令...我怀疑他们没有）。
3. 循环的每次迭代都需要 i

加起来，我们得到大约 2 + (1 或 2) + (4 或 5)n，因此 3 + 4n

Answer 3

要进行此计算，您需要一些基本的原始系统。例如在计算机编程的艺术中，Knuth 使用 MIX 计算机进行此类计算。不同的基础计算机可能有不同的指令，这种计算的结果也不同。在您的特定示例中，一种常见的设置方法是：

• 散列
• i
• i
• key[i] 查找（n 个操作）
• hash + key[i] (n ops)
• 散列
• hash % prime (1 op)

这将是 5n + 3。

变化可能是：

• 声明/创建两个hash 和i，可能会很耗时。由于声明，普通的 cpu 可能不需要做额外的工作，想想寄存器/堆栈存储。
• hash += hash + key[i] 可能被计为基本系统上的一项操作，依此类推。

编辑：请注意，这些计算在假设硬件上作为思想实验最有用。除了极少数情况外，现实生活中的处理器很可能不会完全按照这些计算行事。