浮点表示中不同范围可表示的值的最大数量是多少？答案

【问题标题】：What are the maximum number of values representable for different ranges within the floating-point representation?浮点表示中不同范围可表示的值的最大数量是多少？
【发布时间】：2014-09-23 06:56:03
【问题描述】：

我正在尝试找出对浮点值使用标准化表示的一些细节。

据我了解，IEEE-754 表示的工作方式如下：

1.{significand} * 2^{exponent}

对于单精度，有效数为 24 位，指数为 8 位。

我试图将其分解为基本上是指数支持的每个数字范围内可用的“插槽”数量，例如：

[Exponent=0] 0.0 - 1.0 : 2^23 values
[Exponent=1] 1.0 - 2.0 : 2^23 values
[Exponent=2] 2.0 - 4.0 : 2^23 values
[Exponent=3] 4.0 - 8.0 : 2^23 values

我试图证明，在使用量化时，如果我感兴趣的范围限制在 0.0 - 1.0，我可以使用 2^24 位来表示这个数字，并且在去除指数，这可以很容易地转换为完整的浮点表示。此外，为了清楚地说明使用浮点时更接近零的精度比更远的精度更高，因为感觉这可能非常直观易懂。

我不太清楚的一个领域是支持的指数是 -127 到 126，负数部分是如何工作的？ 1.5 * 2^-1 明显与 0.0 - 1.0 范围重叠。

最后，我知道有效数字中的一个位用于符号，但是隐藏位代表什么，这会影响每个范围内可用的“插槽”数量吗？

【问题讨论】：

请注意，尾数有 24 位，但由于最高位始终为规范化数字设置，并且始终为非规范化数字清除，因此不存储。存储 23 位尾数。
要回答您问题的“使用 2^24 位来表示这个数字并且不会损失精度”部分，有很多介于 0 和 0.5 之间的浮点数不能以您似乎正在考虑的 24 位定点格式无损失地表示。
您的指数范围有点混乱：正常数字的（无偏）指数介于 -126 和 127 之间（对应于有偏指数的 8 位）字段范围在 1 到 254 之间）。指数字段 0 保留给零和次正规，而指数字段 255 保留给无穷大和 NaN。
0.0 和 1.0 之间没有 2^23 个值：0.5 和 1.0 之间有 2^23，0.25 和 0.5 之间有 2^23，0.125 和 0.25 之间有 2^23，依此类推，依此类推，直到你得到非规范化的数字。

标签： floating-point ieee-754 floating-point-precision floating-point-conversion

【解决方案1】：

我认为你的桌子错了。应该是：

…… [指数=-3] 0.125 - 0.25：2²³ 个值 [指数=-2] 0.25 - 0.5 : 2²³ 个值 [指数=-1] 0.5 - 1.0 : 2²³ 个值 [指数=0] 1.0 - 2.0 : 2²³ 个值 [指数=1] 2.0 - 4.0 : 2²³ 个值 [指数=2] 4.0 - 8.0：2²³ 个值 ……

或者更准确地说：

…… [指数=-3] 0.125 ≤ x 23 个值 [指数=-2] 0.25 ≤ x 23 个值 [指数=-1] 0.5 ≤ x 23 个值 [指数=0] 1.0 ≤ x 23 个值 [指数=1] 2.0 ≤ x 23 个值 [指数=2] 4.0 ≤ x 23 个值 ……

【讨论】：

范围在 2^n 和 2^(n+1) 之间的标准化浮点数通常称为“binade”。用词表示概念很有用，在考虑浮点时经常会出现这个概念。
好吧，你 often call it a binade，这是肯定的！不过，我不知道还有谁这样做。你是对的，一个词会很有帮助，但是 binade 在英语中是一个很尴尬的词。
是的，我是这个词的忠实粉丝。但威廉·卡汉也这么称呼它，这对我来说已经足够好了：cs.berkeley.edu/~wkahan/testpi/nearpi.c
那个源代码已经三十年了！作者是 S. McDonald，而不是 William Kahan。无论如何，当你说它“通常被称为“binade””时，你是在把事实延伸到临界点。
我低估了它，如果有的话。几乎任何需要参考这组数字的人都称其为“binade”。最近的参考资料是 2010 年出版的“浮点算术手册”，由 9 位作者撰写，每位作者都被认为是著名的专家，不会让这本书用错误的词出版。