对积分的嵌套调用失败

Question

试试这段代码，效果很好。

a=1;b=2;
% A two-variate function 
f2= @(x,y) x+y;
derivedF2=@(x) integral(@(y) f2(x,y), a,b);
% Test the evaluation of the derived function handle
derivedF2(0);
% Test the integration of the derived function handle
% integralVal=integral(derivedF2,a,b);
% integralVal=integral(@(x) derivedF2(x),a,b);
% Test plotting of the derived function handle
figure(11);
ezplot(derivedF2);

但是如果您取消注释以integralVal 开头的行。代码中断。

显然，派生函数句柄不支持积分操作，还是我遗漏了什么？

Answer 1

简答：您应该添加'ArrayValued' 选项：

integralVal=integral(derivedF2,a,b, 'ArrayValued', true);

说明

您应该阅读您的错误信息：

函数的输出必须与输入的大小相同。如果 FUN 是数组值被积函数，则设置 'ArrayValued' 选项为 true。

因为derivedF2 是以向量化的方式计算的，即它通过提供y 向量而不是单个标量来一次计算不同y 坐标处的f，因此MATLAB 无法计算外部积分也是一种矢量化的方式。因此，您应该将'ArrayValued' 选项添加到外部积分，即：

integralVal=integral(derivedF2,a,b, 'ArrayValued', true);

注意ezplot也会产生以下相关警告：

警告：函数无法对数组输入求值；对函数进行矢量化可以加快其评估速度并避免 需要遍历数组元素。

请注意，该问题纯粹与对integral 的嵌套调用有关，以下代码也会导致相同的错误：

integralVal=integral(@(x) integral(@(y) f2(x,y), a,b),a,b);

什么是Array Valued 函数？

...接受标量输入并返回向量、矩阵或 N 维数组输出的函数。

因此，如果x 是一个数组，则@(y) f2(x, y) 是一个数组值函数，即它为y 的标量输入返回一个数组。

存在两种避免数组值问题的可能性：

• 避免 @(y) f2(x, y) 是一个数组值函数，即避免 x 是一个数组。这可以通过指示derivedF2 是一个数组值函数来完成，如上所述，尽管 - 严格来说 - 它不是一个数组值函数，即积分应该具有相同数量的输出和输入。但是，它在内部使用了一个数组值函数，即@(x) f2(x, y) 是一个数组值函数，因为 Matlab 默认情况下以向量化方式评估被积函数，即它使用y 的向量。

• 告诉 Matlab @(y) f2(x, y) 是一个数组值函数：

  derivedF2=@(x) integral(@(y) f2(x,y), a,b, 'ArrayValued', true);
  

  这可能是一种更直观的方法，但由于调用内部积分的次数比外部积分多得多，因此速度较慢。

Array Valued 的另一种解释是您告诉 matlab 不要使用矢量化，但对于这种解释，名称 Array Valued 有点误导。