wxMaxima 和 Sympy 的不定积分结果错误 (?)

Question

我正在开发具有多个符号计算的交互式笔记本，其中有两个涉及平方根的不定积分。 这些是积分表的积分 (29) 和 (30) --> http://integral-table.com.

当我尝试使用 wxMaxima 和 Sympy 评估这些不定积分时，我得到了错误的结果：

wxMaxima：

(29) 与正确的类似，但log函数的参数错误。

(%i127) integrate(sqrt(x^2-a^2),x);
(%o127) (x*sqrt(x^2-a^2))/2-(a^2*log(2*sqrt(x^2-a^2)+2*x))/2

(30) 与正确的类似，但使用 arcsin 而不是 arctan 并且参数错误。

(%i128) integrate(sqrt(a^2-x^2), x);
(%o128) (a^2*asin(x/abs(a)))/2+(x*sqrt(a^2-x^2))/2

同情：

(29) 完全不同且混乱的结果。

from sympy import *
x, a = Symbol('x', real=True), Symbol('a', real=True)
integrate(sqrt(x**2 - a**2), x)

Result of integral (29) with Sympy

(30) 同样，完全不同且混乱的结果。

integrate(sqrt(a**2-x**2),x)

Result of integral (30) with Sympy

相反，使用 Wolfram Alpha 我得到了正确的原始函数：

(29)https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5BSqrt%5B+x%5E2-a%5E2%5D%2C+x%5D

(30)https://www.wolframalpha.com/input/?i=Integrate%5BSqrt%5Ba%5E2+-+x%5E2%5D%2C+x%5D

有谁知道如何绕过这个问题，至少使用 wxMaxima 吗？也许有什么技巧，或者我认为这些是要报告给开发人员的错误。

谢谢！

p.s.：我需要使用免费的笔记本，所以使用 Wolfram Alpha 或 Mathematica 不是解决方案。

编辑： 关于积分（30），通过谷歌搜索，我发现了 arcsin 和 arctan 函数之间的这种关系：

asin(x/a) = atan(x/sqrt(a^2-x^2))

这使得我用 Maxima 获得的结果等于积分表中指示的结果，并由 Wolfram Alpha 给出。 但是，wxMaxima 似乎不知道这种关系，因为：

(%i165) ratsimp(atan(x/sqrt(a^2-x^2))- asin(x/a));
(%o165) atan(x/sqrt(a^2-x^2))-asin(x/a)

或者通过设置a=2，例如：

(%i167) ratsimp(atan(x/sqrt(a^2-x^2))- asin(x/a)), a=2;
(%o167) atan(x/sqrt(4-x^2))-asin(x/2)

我尝试了几种简化方法，但我从来没有得到零，因此 asin(x/a) 和 atan(x/sqrt(a^2-x^2)) 之间是等价的。

Answer 1

感谢您的调查，非常感谢。我是一名 Maxima 开发人员。任何错误的结果都应该报告给错误跟踪器：https://sourceforge.net/p/maxima/bugs/ 必须有一个 Sourceforge 帐户才能提交错误报告。此外，大多数关于 Maxima 的讨论都是通过邮件列表进行的：https://sourceforge.net/projects/maxima/lists/maxima-discuss

关于您提到的结果，您可以通过对 x 进行微分，然后与被积函数进行比较来验证结果。当我这样做时，我得到第二个相同的结果。第一个不同，但数值评估表明（我知道，不能证明）它是相同的。

(%i2) e: sqrt(x^2 - a^2);
                                2    2
(%o2)                     sqrt(x  - a )
(%i3) integrate (e, x);
                 2    2     2             2    2
         x sqrt(x  - a )   a  log(2 sqrt(x  - a ) + 2 x)
(%o3)    --------------- - -----------------------------
                2                        2
(%i4) diff (%o3, x);
           2       2 x
          a  (------------- + 2)
                    2    2                  2    2
              sqrt(x  - a )           sqrt(x  - a )
(%o4) (- -------------------------) + -------------
                    2    2                  2
         2 (2 sqrt(x  - a ) + 2 x)
                                                         2
                                                        x
                                                + ---------------
                                                          2    2
                                                  2 sqrt(x  - a )
(%i5) ratsimp (%);
                            2    2     2    2
                    x sqrt(x  - a ) + x  - a
(%o5)               -------------------------
                              2    2
                        sqrt(x  - a ) + x

（这里省略了一些探索性的回旋......现在跳转到最终结果）

(%i11) %o5 - e, a = 1;
                     2         2
             x sqrt(x  - 1) + x  - 1         2
(%o11)       ----------------------- - sqrt(x  - 1)
                      2
                sqrt(x  - 1) + x
(%i12) makelist (''%, x, makelist (i, i, 1, 10)), numer;
(%o12) [0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 8.881784197001252E-16, 
8.881784197001252E-16, 0.0, 0.0, - 1.77635683940025E-15, 
- 1.77635683940025E-15]

不幸的是，我可以诚实地说，无论是明确的还是无限的，集成都是 Maxima 的许多错误的根源。我们正在继续努力，为此，检查结果对您非常有帮助，因此我鼓励您继续努力。