波动方程模拟的非反射边界

Question

我正在实现wave equation 的模拟，它使用一个数组来离散地模拟波可以在其中传播的空间区域。目前，波从空间区域的边界反射。但是，我想消除这种反射，使波看起来永远传播出去。

我知道有许多学术论文讨论了非反射/吸收边界条件（例如完美匹配的层？），但大多数似乎都集中在解析解决方案上。我无法弄清楚如何在我的模拟中以数字方式实现非反射边界。这是我正在编写的代码：

for (var i = 1; i < width - 1; ++i) {
    for (var j = 1; j < height - 1; ++j) {
        var d2f_dx2 = f[i + 1][j] - f[i][j] * 2 + f[i - 1][j];
        var d2f_dy2 = f[i][j + 1] - f[i][j] * 2 + f[i][j - 1];
        var d2f_dt2 = c2[i][j] * (d2f_dx2 + d2f_dy2);
        df_dt[i][j] += d2f_dt2;
    }
}
for (var i = 1; i < width - 1; ++i) {
    for (var j = 1; j < height - 1; ++j) {
        f[i][j] += df_dt[i][j];
    }
}

其中f 是字段，df_dt 是字段相对于时间的偏导数，d2f_dt2 是字段相对于时间的二阶偏导数，d2f_dx2 是二阶偏导数场在 x 方向上的二阶偏导数，d2f_dy2 是场在 y 方向上的二阶偏导数。

有谁知道我可以如何调整此代码以使其具有非反射边界？

Answer 1

清除几个 25 年前的蜘蛛网后，您的问题的解决方案将取决于您设置方程以满足以下初始条件和无穷大条件。将初始和无限边界条件转换为偏微分，然后为您转换为代码对我来说已经很久了，但是知道要应用的正确边界条件将提供您正在尝试创建的数值模型。希望这会有所帮助。

对于无阻尼非反射条件，您正在寻找建模的边界值问题在您网站上的The_Sturm-Liouville_formulation 最后一段下的维基百科文章中进行了描述。 The_Sturm-Liouville 公式本身可能无法提供正确的模型，但标题下最后一段中讨论的边界条件是您必须满足的条件。推导是在一维中解释的，但正如文章中所指出的，一维问题的数值解可以扩展到任意维数。

无阻尼无限传播的边界条件

boundary value at t=0 == value at t=infinity after X whole periods, where
y = Asin(Bx - C) + D or y = Acos(Bx - C) + D.

f(x)t 和 f(y)t 的解决方案将是波传播到无穷远的周期性三角函数。如果你想一想，条件就很清楚了。在任何时间点，您要描述的波只是一个无阻尼的周期性谐波，它将被建模为正弦、余弦等。在任何时间点描述波的唯一区别是幅度和相位为它在正常时期循环。哪个三角函数将满足您的初始条件的身份将取决于相位角和时间 t=0 的偏移。当时间接近无穷大时，边界条件将是在整数个周期完成后的相同函数。