从 bspline 中提取圆弧/圆定义

Question

我必须解码可以将 3d 圆定义为样条的 STEP cad 文件。 我希望能够解码样条曲线是圆弧还是圆。

起初我有步骤 B_SPLINE_CURVE_WITH_KNOTS 元素。

 #307 = B_SPLINE_CURVE_WITH_KNOTS ( 'NONE', 3,( #114, #212, #179, #317, #91, #191, #141, #97, #150, #63, #121, #243, #75, #43, #15, #164, #315, #284, #302, #70, #269, #251, #151, #220, #178, #172, #248, #185, #156, #249, #300, #47, #124, #335, #360, #59, #357, #343, #12, #5, #112, #324, #344, #193, #329, #320, #313, #222, #51, #167, #286, #268, #310, #32, #267, #52, #66, #69 ),.UNSPECIFIED., .T., .F., ( 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4 ), ( 0.0000000000000000000, 0.0003907630664662950000, 0.0007815261329325900100, 0.001172289199398885000, 0.001563052265865180000, 0.002344578398797811600, 0.003126104531730443300, 0.003516867598196761600, 0.003907630664663080300, 0.004298393731129399400, 0.004689156797595717700, 0.005079919864062035900, 0.005470682930528354200, 0.005861445996994673300, 0.006252209063460992400, 0.006642972129927311600, 0.007033735196393629000, 0.007815261329326231600, 0.008206024395792531700, 0.008596787462258833500, 0.008987550528725133500, 0.009378313595191433600, 0.009769076661657735300, 0.01015983972812403500, 0.01055060279459033500, 0.01094136586105663500, 0.01133212892752293700, 0.01172289199398923700, 0.01250441812692185600 ), .UNSPECIFIED. ) ;

所以，如果我是对的，我会解码：
58个控制点
29 结_multiciplities
29 节
3 级
closed_curve 参数 = True

现在，想法是将其转换为贝塞尔曲线以找到弧/圆，但我被困在这些参数前面。

Answer 1

您可以计算出arc through 3 consecutive knots。如果弧对于 bspline 的所有三元组都是恒定的，则曲线本身就是弧。

Answer 2

圆弧或整圆不能用积分 B 样条曲线精确表示。因此，如果您确定 STEP 文件中的 B 样条曲线不是有理的，那么它只能近似表示圆弧或整圆。如果是这种情况，您可以执行以下操作：

• 在 B 样条曲线上采样一些点，
  
• 对采样点进行最小二乘拟合以获得最佳拟合圆以及与每个采样点相关的偏差。
  
• 如果最大偏差小于某个阈值，那么您将得到您的圆/弧。否则，此 B 样条曲线不是圆/圆弧。
  

无论您是有理 B 样条曲线还是积分 B 样条曲线，这种方法都可以使用。

Answer 3

首先主要的问题是对STEP BSPLINE_CURVE_WITH_KNOTS定义的理解：

knot_multicplicites = ( 4, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 4)

结=（0.0000000000000000000，0.0003907630664662950000，0.0007815261329325900100，0.001172289199398885000，0.001563052265865180000，0.002344578398797811600，0.003126104531730443300，0.003516867598196761600，0.003907630664663080300，0.004298393731129399400，0.004689156797595717700，0.005079919864062035900，0.005470682930528354200，0.005861445996994673300，0.006252209063460992400，0.006642972129927311600，0.007033735196393629000，0.007815261329326231600，0.008206024395792531700，0.008596787462258833500，0.008987550528725133500，0.009378313595191433600， 0.009769076661657735300，0.01015983972812403500，0.01055060279459033500，0.01094136586105663500，0.01133212892752293700，0.01172289199398923700，0.01250441812692185600）

我想这意味着结必须被解码为：

(0.0000000000000000000,0.000000000000000000,0.000000000000000000,0.000000000000000000, 0.0003907630664662950000, 0.0003907630664662950000, 0.0007815261329325900100, 0.0007815261329325900100 ....

但让我担心的是多重性（4）大于度数：3！ .

Answer 4

每个内部结的重数 = 2。这意味着样条曲线是 C_1，并且与控制多边形的边相切。具体来说，如果t[i-1]、t[i] 和 t[i+1} 是三个节点，每个节点的多重性 = 2，则样条曲线与控制多边形边相切，该点将边以比率划分
t[i+1] - t[i] : t[i] - t[i-1] .在下图中，这些切点用空心圆圈表示，红色圆圈是控制点：

事实上，在您的特定示例中，大部分情况下，结间距是均匀的 - 在很多情况下t[i+1] - t[i] = t[i] - t[i-1] = 0.000391。这意味着有很多地方样条曲线在中点处与控制多边形的一条边相切。

使用控制点和切点，您可以计算端点（P和Q）和单位长度的端切线（U 和 V）。每个立方段的

一点三角学和矢量算术会为您提供相应圆的半径和圆心。示例伪代码如下。它假设了一些明显的向量函数，并且避免使用三角函数：

// Input:
// P: start point
// Q: end point
// U: start tangent (assumed to be of unit length)
// V: end   tangent (assumed to be of unit length)

Vector C = Q - P;    // chord vector

// Test that tangent vectors make same angle with chord
double UdotC = U*C;      
double VdotC = V*C;         
double epsilon = some small number, say around 0.000001;
if (Math.Abs(UdotC - VdotC) > epsilon) throw;  // Tangents not symmetric

// Test that tangents and chord are coplanar
Vector UcrossC = Vector.Cross(U, C);  
double det = V*UcrossC;
if (det > epsilon) throw;   // Tangents and chord not coplanar

double CdotC = C*C;
double radius = 0.5 * CdotC / Vector.Norm(UcrossC);

double c2 = (UdotC*UdotC)/CdotC;
Vector dW = 0.25*(UdotC/(1-c2))*(V - U);
Position center = P + 0.5*C + dW;

如果您以这种方式创建的圆具有相同的中心和半径（在一些合理的公差范围内），那么假设样条的“意图”是一个圆是相当安全的。

我认为以这种方式使用点和切线比将圆拟合到样条曲线上的任意点要好。发送系统中的代码很有可能通过所谓的“Hermite”方法（使用点和切线）构造样条曲线。如果是这种情况，很可能如上计算的点和切线将与原始圆的点和切线完全匹配（如果有的话）。样条曲线上任意计算的点不会完全位于原始圆上，因此您会遇到更多的公差问题。