如何检查单纯形是否包含原点？

Question

我正在实现Gilbert-Johnson-Keerthi 算法，该算法计算两个对象是否相交（即碰撞）。

我的代码的入口点是hasCollided 函数，它接受两个点列表，如果它们相交则返回True。我相信我已经正确地实现了这篇论文 - 但是，我仍然需要实现 contains 函数。

contains 函数应确定单纯形是否包含原点。我不确定如何实现这一点。

如何有效地确定单纯形（点的集合）是否包含原点？

---

以下是我的实现：

type Simplex = Set (Vector Double)

hasCollided :: [Vector Double] -> [Vector Double] -> Bool
hasCollided points1 points2 = gjk points1 points2 simplex (scale (-1) direction) p
  where simplex   = insert p empty
        p         = support points1 points2 direction
        direction = fromList [1, 0, 0]

gjk :: [Vector Double] -> [Vector Double] -> Simplex -> Vector Double -> Vector Double -> Bool
gjk points1 points2 simplex direction lastAdded =
  if p <.> direction < 0 then False
  else
    if contains simplex' (fromList [0, 0, 0]) direction p then True
    else gjk points1 points2 simplex' direction' p
  where p          = support points1 points2 direction
        simplex'   = insert p simplex
        direction' = cross ab $ cross ao ab
        ab         = sub p lastAdded
        ao         = sub origin3D lastAdded

辅助函数是：

contains :: Simplex -> Vector Double -> Vector Double -> Vector Double -> Bool
contains simplex point direction lastAdded = undefined


support :: [Vector Double] -> [Vector Double] -> Vector Double -> Vector Double
support points1 points2 direction = sub p1 p2
  where p1 = getFarthestPoint points1 direction
        p2 = getFarthestPoint points2 direction

getFarthestPoint :: [Vector Double] -> Vector Double -> Vector Double
getFarthestPoint points direction = points !! index
  where index       = fromJust $ elemIndex (maximum dotproducts) dotproducts
        dotproducts = map (direction <.>) points

origin3D :: Vector Double
origin3D = fromList [0, 0, 0]

Answer 1

我会采用不聪明的“让我们做一些线性代数来解决它”的方法。

单纯形中的每个点都是定义单纯形的点的convex combination。凸组合只是一个线性组合，其中系数都 >= 0 并且加起来为 1。

“单纯形是否包含原点”等同于询问是否存在等于零向量的单纯形点的凸组合。我们可以把它写成矩阵表达式吗？

假设我们正在处理由四个向量定义的单纯形，x1 到 x4。

我们将形成这些向量的任意线性组合，y = a1*x1 + a2*x2 + a3*x3 + a4*x4。

我们希望找到a1 到a4，使得y 是零向量，a1 + a2 + a3 + a4 = 1。

如果单纯形是三维欧几里得空间中的点，我将展示线性系统的样子；让向量xi 有分量xi1、xi2 和xi3。

[ x11  x21  x31  x41 ] [ a1 ]   [ 0 ]
[ x12  x22  x32  x42 ] [ a2 ] = [ 0 ]
[ x13  x23  x33  x43 ] [ a3 ]   [ 0 ]
[  1    1    1    1  ] [ a4 ]   [ 1 ]

这个线性系统的前三行对应y必须为零的约束，即我们可以通过x1到x4的某种线性组合到达原点。最后一行对应于系数加起来为 1 的约束，这对于线性组合成为凸组合是必要的但不是充分的。矩阵方程没有表达的约束是ai >= 0。

选择您最喜欢的求解线性系统的方法并应用它。如果构成单纯形的向量是线性独立的，那么您将找不到任何解。如果线性系统有一个或多个解并且至少一个解具有所有ai >= 0，则单纯形包含原点。

对于最后一步的算法，我没有任何现成的描述，确定解决方案集是否包含所有系数均为正的任何点。我建议在纸上写几个例子——我希望你能找到一个。

编辑：确定解集是否包括所有系数为正的点实际上与确定解空间与ai >= 0 的交点定义的单纯形是否包括原点以外的任何点相同。

这意味着这种解决方法减少了问题

“输入单形 是否包含原点？”

到

“另一个单纯形（从输入单纯形派生）是否包含除原点以外的任何点？”

我认为这是一个将问题简化为另一个（希望更容易）问题的可爱示例。

Answer 2

（如果无法识别公式，请将主题更改为浅色）

要严格确定该点是否属于单纯形，您只需要知道最大 d + 2 行列式 d * d 大小的符号。

让：

然后我们可以构造一个矩阵（j,k 索引意味着：排除j 行并从d 剩余行的每一行中减去从原点到点k 的向量；行中的所有左侧定义一个方面靠在j 顶点）：

上述矩阵的行列式是d! 乘以d-维的单纯形超体积，由公式中涉及的点构成（严格来说是平行面体的有向超体积，其边由矩阵行给出)。

如果点在单纯形内，则以下所有等式都为真（匹配j 和0 点对相对于面的方向（定向超体积的符号））：

但我们可以注意到，

所以我们只能从比较左侧计算一个行列式 (?)：

并假设，该标志翻转为下一个js。

因此，我们应该至少计算d*d 矩阵的2 行列式和最大d + 2（A^1,1 和 A^{j,0 sup> 对于 {1, 2, ..., d + 1} 中的所有 j)。如果符号在某个步骤上不匹配，则该点位于单纯形的当前面之外，因此根本不在单纯形之外。}

附加：

如果某些右侧行列式为零，则该点与相应面的平面共面。

Answer 3

您可以使用重心坐标！ 检查this问题的答案以查看详细信息。

判断一个点 $p = (p_1, \dots, p_n)$ 是否属于单纯形的想法是将其写在重心坐标 $p_\lambda = (\lambda_1, \dots, \lambda_n)$ 中尊重您要检查的单纯形。

如果$p$的重心坐标满足

$$ \lambda_i \ge 0,\ \sum \lambda_i \le 1, \i = 1, \dots, n+1 $$

那么 $p$ 属于单纯形。否则不会。

这减少了寻找点的重心坐标的问题。