这个 Pollard Rho 实现有什么问题答案

【问题标题】：What's wrong with this Pollard Rho implementation这个 Pollard Rho 实现有什么问题
【发布时间】：2011-08-27 18:42:45
【问题描述】：

#include <iostream>
#include <cstdlib>
typedef  unsigned long long int ULL;
ULL gcd(ULL a, ULL b)
{
   for(; b >0 ;)
   {
       ULL rem = a % b;
       a = b;
       b = rem;
   }
   return a;
}
void pollard_rho(ULL n)
{
   ULL i = 0,y,k,d;
   ULL *x = new ULL[2*n];
   x[0] = rand() % n;
   y = x[0];
   k = 2;
   while(1){
       i = i+1;
       std::cout << x[i-1];
       x[i] = (x[i-1]*x[i-1]-1)%n;
       d = gcd(abs(y - x[i]),n);
       if(d!= 1 && d!=n)
          std::cout <<d<<std::endl;
       if(i+1==k){
         y = x[i];
         k = 2*k;
       }
   }
}

int main()
{
   srand(time(NULL));
   pollard_rho(10);

}

此实现源自 CLRS 第 2 版（第 894 页）。 while(1) 在我看来很可疑。 while 循环的终止条件应该是什么？

我尝试了k<=n，但这似乎不起作用。我得到分段错误。代码有什么缺陷，如何改正？

【问题讨论】：

您对while 循环的看法是正确的；没有终止，所以i 变大并使用非法值索引到x，这会导致分段错误。
那么终止条件应该是什么？请查看 CLRS 中的 Pollard Rho 算法。
这是一个技巧问题吗？我们怎么知道它出了什么问题？
不，这不是一个技巧问题。我想知道如何更正代码。

标签： c++ algorithm factorization clrs

【解决方案1】：

我只有 CLRS 的第 1 版，但假设它与第 2 版差别不大，终止条件的答案在下一页：

这个寻找因子的过程起初可能看起来有些神秘。但是请注意，POLLARD-RHO 永远不会打印错误的答案。它打印的任何数字都是 n 的重要除数。不过，POLLARD-RHO 可能根本不打印任何东西。不能保证它会产生任何结果。然而，我们将看到，有充分的理由期望 POLLARD-RHO 在大约 sqrt(p 之后打印 n 的 p 因子) while 循环的迭代。因此，如果 n 是复合的，我们可以期望这个过程发现足够的除数以在大约 n^{1/4 之后完全分解 n} 更新，因为 n 的每个素因数 p 可能除了最大的一个都小于 sqrt(n)。

因此，从技术上讲，CLRS 中的演示文稿没有终止条件（这可能就是为什么他们称其为“启发式”和“程序”而不是“算法”）并且不能保证它会永远实际上产生任何有用的东西。在实践中，您可能希望根据预期的 n^1/4 更新设置一些迭代限制。

【讨论】：

【解决方案2】：

为什么要存储所有这些中间值？你真的不需要把 x 和 y 放在一个数组中。只需使用您不断重复使用的 2 个变量，x 和 y。

另外，将while(1) 替换为while(d == 1) 并在之前切断循环

 if(d!= 1 && d!=n)
      std::cout <<d<<std::endl;
   if(i+1==k){
     y = x[i];
     k = 2*k;

所以你的循环应该变成

while(d == 1)
{
    x = (x*x - 1) % n;
    y = (y*y - 1) % n;
    y = (y*y - 1) % n;
    d = abs(gcd(y-x,n))%n;
}
if(d!=n)
  std::cout <<d<<std::endl;
else
  std::cout<<"Can't find result with this function \n";

如果您将循环内使用的函数作为参数传递给pollard，则会加分，这样如果它无法找到一个函数的结果，它会尝试另一个函数。

【讨论】：

嗯。 while 在d != 1 时终止，那么if 语句中的d != 1 不是多余的吗？

【解决方案3】：

尝试用这个替换while(1) { i = i + 1;：

for (i = 1; i < 2*n; ++i) {

【讨论】：