gluTess 函数背后的算法是什么？

Question

我出于好奇提出这个问题，出于性能原因，在使用 GLU 之前首先尝试实现这样的算法。

我研究过常用算法（经常提到 Delaunay、Ear Clipping），但我似乎无法理解 GLU 是如何一直如此出色地完成其工作的。

你们有没有关于该主题的有趣论文或文章？

Answer 1

some notes旁边还有the source：

这只是一个非常简短的概述。有相当多的 源代码本身的附加文档。

稳健细分的目标

镶嵌算法本质上是一种二维算法。我们 最初将所有数据投影到一个平面中；我们的目标是稳健地 镶嵌投影数据。相同的拓扑镶嵌是 然后应用于输入数据。

从拓扑上讲，输出应该始终是镶嵌。如果 输入甚至稍微不平面，那么一些三角形会 从某些角度看，一定是背对着的，但目标 就是尽量减少这种影响。

该算法需要一些清理输入数据的能力 以及其自身计算中的数值误差。一种方法 这是为了指定上面定义的容差，并清理 行扫描过程中的输入和输出。至少， 该算法必须处理重合顶点，顶点与 边和重合边。

算法的阶段

1. 求多边形法线 N。
2. 将顶点数据投影到平面上。它不需要垂直于法线，例如。我们可以投影到飞机上
   垂直于与 N 的点积为的坐标轴 最大。
3. 使用线扫描算法，将平面划分为 x 单调区域。任何垂直线与 x 单调区域相交 最多一个间隔。
4. 对 x 单调区域进行三角测量。
5. 将三角形组合成条形和扇形。

寻找法线向量

求多边形法线的常用方法是计算有符号面积 当多边形沿三个坐标轴投影时。我们 不能这样做，因为轮廓可以有零面积而不是 退化（例如领结）。

我们为顶点数据拟合一个平面，忽略它们是如何连接的 成轮廓。理想情况下，这将是最小二乘拟合；然而对于 我们的目的正常的准确性并不重要。相反，我们 找到三个相距很远的顶点，并计算法线 到它们形成的三角形。顶点的选择使得 三角形的面积至少是任何三角形的最大面积的 1/sqrt(3) 倍 使用输入顶点形成的三角形。

轮廓确实会影响法线的方向；计算后 正常情况下，我们检查有符号轮廓区域的总和是 非负数，必要时反转正态。

投影顶点

我们将顶点投影到垂直于三个顶点之一的平面上 坐标轴。这通过删除 原始输入数据和数据之间的转换步骤 由算法处理。投影还压缩了输入 数据;投影后顶点之间的二维距离可能更小 比原来的二维距离。但是通过选择坐标 与法线的点积最大的轴，压缩 系数最多为 1/sqrt(3)。

即使法线的准确度并不重要（因为 无论如何，我们都垂直于坐标轴投影）， 计算的鲁棒性很重要。例如，如果有许多顶点几乎沿着一条直线，而一个顶点 V 它与线很好分开，然后我们的正常计算 应该涉及V，否则结果将是垃圾。

垂直于多边形法线投影的优点是 计算出的交点将尽可能接近 他们的理想地点。要获得此行为，请定义 TRUE_PROJECT。

线扫

共有三种数据结构：网格、事件队列和 边缘字典。

网格是一种“四边形”数据结构，它记录了网络的拓扑结构 当前分解；有关详细信息，请参阅包含文件“mesh.h”。

事件队列只保存所有顶点（原始的和计算的） 个），组织起来，以便我们可以快速提取顶点 最小 x 坐标（以及其中具有最小 y 坐标的那个）。

边字典描​​述了当前扫过的交点 与多边形的区域对齐。这只是一个排序 与扫描线相交的边，按其当前顺序排序 路口。对于每一对边，我们存储一些关于 它们之间的单调区域——这些被称为“活动区域” （因为它们被当前扫描线穿过）。

基本算法是从左到右扫一扫，处理每一个 顶点。网格的处理部分（扫描线左侧）是 平面分解。当我们穿过每个顶点时，我们更新网格 和边缘字典，然后我们检查任何新的相邻对 边看它们是否相交。

一个顶点可以有任意数量的边。有很多边的顶点可以 当顶点被合并并且交点被创建时被创建 计算。对于未处理的顶点（扫描线的右侧），这些 边缘在顶点周围没有特定的顺序；用于加工 顶点，拓扑排序应该匹配几何 订购。

顶点处理分为两个阶段：首先我们处理的是 向左边缘（所有这些边缘当前都在边缘 字典）。这涉及：

• 从字典中删除左行边；
• 如有必要，重新链接网格，以便事件顶点周围的这些边的顺序与字典中的顺序相匹配；
• 根据 他们的绕组编号。

当没有左走边，并且事件顶点在一个 “内部”区域，我们需要添加一条边（将区域分割成 单调件）。为此，我们只需将事件顶点连接到 包含的上边缘或下边缘的最右端左端点 地区。

然后我们处理向右的边缘。这涉及：

• 在边缘字典中插入边缘；
• 计算任何新创建的活动区域的绕组数。我们可以使用每条边的绕组增量计算这个
  我们在浏览字典时会越过它。
• 如有必要，重新链接网格，以便事件顶点周围的这些边的顺序与字典中的顺序相匹配；
• 检查任何新相邻的边是否相交和/或合并。

如果没有右向边，我们需要再次添加一个来分割 将包含区域分成单调块。在我们的例子中，它是最 方便将边缘添加到任何一个的最左端点 包含边缘；但是我们可能需要稍后更改它（请参阅 代码了解详情）。

不变量

这些是在扫描期间保持的最重要的不变量。 我们定义了一个函数 VertLeq(v1,v2)，它定义了 顶点穿过扫描线，以及一个函数 EdgeLeq(e1,e2; loc) 它表示在扫描事件位置“loc”处 e1 是否低于 e2。 此功能仅在扫描事件位置定义，该位置位于 在 {e1,e2} 的最右端和最左端之间 {e1,e2} 的端点。

边缘字典的不变量。

• 每对相邻边 e2=Succ(e1) 在扫描事件的任何有效位置都满足 EdgeLeq(e1,e2)。
• 如果 EdgeLeq(e2,e1) 也是如此（在任何有效的扫描事件中），则 e1 和 e2 共享一个公共端点。
• 对于字典中的每个 e，e->Dst 已处理，但 e->Org 未处理。
• 每个边 e 满足 VertLeq(e->Dst,event) && VertLeq(event,e->Org) 其中“event”是当前扫描线 事件。
• 没有边 e 的长度为零。

• 没有两条边具有相同的左右端点。网格的不变量（已处理部分）。

• 扫描线左侧的网格部分是平面图，即。有一些方法可以将其嵌入平面中。

• 没有处理过的边的长度为零。
• 没有两个已处理的顶点具有相同的坐标。
• 每个“内部”区域都是单调的，即。根据 VertLeq(v1,v2) 可以分成两条单调递增的顶点链
  • 非不变式：这些链可能会（稍微）相交，因为 数值错误，但这不会影响算法的运行。

扫描的不变量。

• 如果顶点有任何向左的边，那么在处理顶点时这些边必须在边字典中。
• 如果一条边被标记为“fixUpperEdge”（它是由 ConnectRightVertex 引入的临时边），那么它是唯一的右向 来自其关联顶点的边。 （这表示这些边缘存在 仅在必要时。）

稳健性

算法鲁棒性的关键是保持 上面的不变量，尤其是边缘的正确排序 字典。我们通过以下方式实现这一目标：

1. 编写数值计算以获得最大精度，而不是 超过最大速度。

2. 对边缘的结果完全不做任何假设 交集计算——对于足够退化的输入， 计算出的位置并不比随机数好多少。

3. 当数值错误违反不变量时，恢复它们 通过在必要时进行拓扑更改（即重新链接 网状结构）。

三角剖分和分组

我们在进行任何三角测量之前完成线扫描。这是 因为即使在一个单调区域完成之后，还有更多 由于进一步的顶点合并，其顶点数据发生变化。

在对所有单调区域进行三角剖分后，我们要将 三角形成扇形和条形。我们使用贪婪的方法来做到这一点。 三角剖分本身并未优化以减少 原语；我们只是试图得到一个合理的分解 计算三角剖分。