遵循什么方法来找到曲面上的坐标？

Question

我在拍照时很难找到“曲面上的坐标”。想象一个桶或一个曲面，其表面上有 n 个点，我们需要确定它们的位置。当从“正面”拍摄表面并旋转约 30 度时，点的相对位置看起来会有所不同。

如果是平板，我会考虑将长度归一化并找到每个点的相对坐标。由于它是一块平板，每个归一化坐标都会给出与旋转角度无关的相同数字。但是当它在曲面上时，这种归一化无助于找到坐标。是否有一种方法可以在对象旋转时找到坐标？

可以在此处看到示例问题的视觉效果：

可以看到另一个示例图的俯视图：

Answer 1

看起来您处于以下情况：您有一条称为axis 的固定垂直线，它是您围绕其旋转表面的垂直旋转轴。此外，您有一个平面S，代表您的相机屏幕。屏幕平面S 也是垂直的，这相当于它平行于旋转axis。然后，屏幕平面S 的法线向量N 指向axis。

我们通过以下方式引入固定坐标系（称为相机系统，我们从相机的角度看世界，它是固定的，因为您的相机是固定的）：我们选择一个固定点O 在屏幕平面S 上并在S 上绘制O ---> y 轴作为S 上平行于axis 并穿过O 的唯一线。轴O ---> x 是垂直于O ---> y 轴的唯一线，因此是水平的。法线向量N 与O ---> z 轴对齐，该轴也是水平的，从相机开始穿过axis，与后者正交。

屏幕平面上的坐标系，称为屏幕系统，就是得到的坐标系z = 0（3D点在屏幕上的正交投影S），即两个-三维系统O x y 其中屏幕系统的O--->x 和O--->y 轴也是相机系统的轴，如上定义。

据我了解，您拍摄了两次表面照片，一次是在一个位置，然后第二次是在将其围绕axis 旋转一定角度a 之后。旋转前取表面上的标记点之一P。然后是正交投影p1在屏幕上S在screen0system中有坐标[x1,y1]。在以axis 周围表面的角度a 旋转后，点P 现在在屏幕S 上具有正交投影p2，在屏幕系统中具有新坐标[x2,y2]。我假设您可以确定屏幕上任何点相对于屏幕系统的坐标。如果我没看错的话，目标相当于确定P在三个空间O x y z旋转前后的坐标。但是，由于您在屏幕上的投影S 是正交的，因此您只需确定旋转前后点P 的z 坐标即可。从那里，您可以继续找到表面上P 的曲线坐标，这可能只是屏幕投影到表面上的坐标，因此表面参数化可以是例如：

X = x1
Y = y1
Z = z1(x1, y1)    

我们还将假设您知道相机屏幕S 和旋转轴axis 之间的距离l。我相信到目前为止所做的所有这些假设都是非常合理的，因为您可以控制设置相机（即屏幕平面S 及其坐标系，相当自然）和旋转轴axis . 情况如下图：

如您所见，我们选择了水平切片y = y1，由于屏幕和相机坐标系的整体布置，我们选择了y = y1 = y2。观察到由于axis 的旋转，我们有dist(P0, axis) = dist(Pa, axis)。因此三角形P0 Pa axis 是等腰三角形，在顶点axis 处有角度a。因此，如果你通过顶点axis 绘制这个三角形的反射对称轴，你会得到同一个直角三角形的两个副本，其中有方程

dist(P0, Pa)/(2*dist(axis, P0)) = sin(a/2)

将后一个方程与方程结合起来

dist(P0, axis) = dist(Pa, axis) 

如果你将两个方程平方并将它们放在一起作为一个系统，你会得到两个方程的系统

dist(P0, Pa)^2 = 4*(dist(axis, P0))^2*(sin(a/2))^2

dist(P0, axis)^2 = dist(Pa, axis)^2 

如果你看三个（直角）梯形O p1 P0 axis，然后是O p2 Pa axis，最后是P0 p1 p2 Pa，得到两个二次方程组，其两个未知数是z坐标z1和z2。其余参数给出：x1, x2, l, a。你必须解决z1 和z2。将有四对解决方案，您必须选择与实际情况相对应的解决方案。然而，精确求解系统可能很困难，因此您可以使用牛顿法找到一个非常好的近似解。

我已经在图片上写了系统，你可以在公式中看到它。角度a 是你的theta。

Answer 2

假设这个圆柱体上的点之间的距离总是相同的，你只需要找出一个坐标三元组，然后你就可以在测地线上计算其他坐标。

所以它会在大地坐标系中： (x1, y1, z1) (x1 + 距离, y1, z1) (x1 + 2*距离, y1, z1)

这仅适用于坐标之间的距离恒定且已知并且您知道测地线的角度...