gmpy2 log2 16 位后不准确

Question

在 gmpy2 中使用 log2() 时，在 16 位之后似乎不准确。它似乎在 15 位时工作正常，但之后使用 mpz(mpfr(2) ** mpfr(x)) 的答案不正确。我需要改变精度吗？我认为 python 本身可以精确到 53 位。

此外，gmpy2 中是否有一种方法可以在除 10 和 2 之外的基数中使用对数运算？例如，基数为 8 或 16。

Answer 1

标准的 Python 浮点类型精确到 53 位，大约是 16 位十进制数字。 gmpy2 使用 53 位的默认精度。如果您想要更准确的结果，则需要提高精度。

>>> import gmpy2
>>> from gmpy2 import mpz,mpfr,log2
>>> a=12345678901234567890
>>> gmpy2.get_context().precision=70
>>> mpz(2**log2(a))
mpz(12345678901234567890L)

要计算不同的对数，只需使用

>>> gmpy2.log(x)/gmpy2.log(base)

更新

从一系列浮点计算中恢复精确的整数结果通常是不可能的。根据实际计算，您可以提高精度，直到“足够接近”。

让我们看看精度的影响。请注意，a 的长度为 57 位，因此无法用 53 位的浮点精度精确表示。

>>> a=123543221556677776
>>> a.bit_length()
57
>>> gmpy2.get_context().precision=53
>>> mpfr(a);2**log2(a)
mpfr('1.2354322155667778e+17')
mpfr('1.2354322155667752e+17')

由于二进制浮点数到十进制数的转换会引入转换错误，让我们看看二进制的结果。

>>> mpfr(a).digits(2);(2**log2(a)).digits(2)
('11011011011101001111001111100101101001011000011001001', 57, 53)
('11011011011101001111001111100101101001011000010111001', 57, 53)

让我们尝试将精度提高到 57 位。

>>> gmpy2.get_context().precision=57
>>> mpfr(a).digits(2);(2**log2(a)).digits(2)
('110110110111010011110011111001011010010110000110010010000', 57, 57)
('110110110111010011110011111001011010010110000110010011000', 57, 57)

请注意更多位是正确的，但仍然存在错误。让我们试试 64 位。

>>> gmpy2.get_context().precision=64
>>> mpfr(a);2**log2(a)
mpfr('123543221556677776.0',64)
mpfr('123543221556677775.953',64)
>>> mpfr(a).digits(2);(2**log2(a)).digits(2)
('1101101101110100111100111110010110100101100001100100100000000000', 57, 64)
('1101101101110100111100111110010110100101100001100100011111111010', 57, 64)

大量尾随 1 大致相当于十进制尾随 9。

一旦“足够接近”，您就可以转换为整数，将结果四舍五入为预期值。

为什么 57 位不够用？ gmpy2 使用的 MPFR 库确实执行正确的舍入。仍然有一个小错误。让我们也看看使用正确舍入值上方和下方的浮点值的结果。

>>> gmpy2.get_context().precision=57
>>> b=log2(a)
>>> 2**gmpy2.next_below(b);2**log2(a);2**gmpy2.next_above(b)
mpfr('123543221556677746.0',57)
mpfr('123543221556677784.0',57)
mpfr('123543221556677822.0',57)

请注意，即使b 的微小变化也会导致2**b 发生更大的变化。

更新 2

浮点运算只是对实数数学性质的近似。有些数字是有理数（它们可以写成分数），但大多数数字是无理数（它们永远不能完全写成分数）。浮点运算实际上使用数字的有理逼近。

我跳过了下面的一些细节 - 我假设所有数字都在 0 和 1 之间。

对于二进制浮点（大多数计算机使用的），有理逼近的分母必须是 2 的幂。像 1/2 或 1/4 这样的数字可以精确表示。十进制浮点数使用分母为 10 次方的有理近似值。1/2、'1/4'、'1/5' 和 1/20 等数字都可以精确表示。两者都不能准确地代表1/3。浮点运算的 base-6 实现可以精确地表示 1/2 和 1/3，但不能表示 1/10。特定格式的精度仅指定分子的最大大小。总会有一些有理数不能用给定的基数精确表示。

由于无理数不能写成有理数，它们不能用给定的基数精确表示。由于对数和指数函数几乎总是产生无理值，因此计算几乎永远不会精确。通过提高精度，您通常可以“足够接近”，但永远无法准确。

有些程序可以使用symbolically - 它们会记住a 是log2(n)，当您使用2**a 时，会返回a 的确切值。见SymPy。