我们有一组代表价格随时间变化的数字。例如，我们有 [10, 4, 6, 8, 2, 5, 3, 9, 1]。我们想知道什么时候是买卖以最大化利润的最佳时机。在这种情况下，我们将在时间[4] = 2 买入并在时间[7] = 9 卖出，从而获得 9 - 2 = 7 的利润。
在数学上，我们正在寻找 a 和 b，其中 a
使用分治法制作复杂度为 O(nlogn) 的算法有些微不足道。我一直在寻找一种最坏情况 O(n) 的算法，但没有成功。任何帮助将不胜感激。
【问题讨论】：
标签： algorithm time-complexity divide-and-conquer
这里不需要分而治之。从最旧的价格到最新的价格遍历数组，并在每一步将当前价格与目前找到的最低价格进行比较。
【讨论】：
如果我们作为第一步预先计算一个向量，该向量指定索引 i 的每个范围 (0, i-1) 的最低价格，然后计算我们在索引 i 处卖出时可以达到的最高价格，我们可以在 O(n) 时间内轻松计算：
代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <limits>
#include <vector>
using namespace std;
int main() {
vector<int> prices{10, 4, 6, 8, 2, 5, 3, 9, 1};
// sell at time [i] requires buy at minimum in range [0,i-1]
// create vector of index at minimum for each range
int currentMinimumIndex = 0;
vector<int> minimums{0};
for(size_t i = 1; i < prices.size(); ++i)
{
if (prices[i] < prices[currentMinimumIndex])
{
minimums.emplace_back(i);
currentMinimumIndex = i;
}
else
minimums.emplace_back(currentMinimumIndex);
} // O(n)
// at this point we have a lookup table for minimum in every range
// attempt to maximize amount we can get if we sell at time i buy buying at minimum for (0,i-1)
vector<int> maxSales{std::numeric_limits<int>::min()};
for(size_t i=1;i<prices.size();++i)
{
maxSales.emplace_back(prices[i] - prices[minimums[i]]);
} // O(n)
// find maximum element
auto maxSum = std::max_element(std::begin(maxSales), std::end(maxSales)); // O(n)
auto sellAt = std::distance(std::begin(maxSales), maxSum);
auto buyAt = minimums[sellAt];
std::cout << "Maximum profit is " << *maxSum << std::endl;
std::cout << "If we buy at index " << buyAt << " (price: " << prices[buyAt] << ")"
<< " and sell at " << sellAt << " (price: " << prices[sellAt] << ")" << std::endl;
return 0;
}
输出：
最大利润为 7 如果我们以指数 4（价格：2）买入并以 7（价格：9）卖出
编辑：这是一种动态编程式的方法，我现在意识到它有点矫枉过正。如果我们做什么hugomg said 然后我们将简单地从左到右迭代，存储到目前为止找到的最小值。在每个新索引 i 处，我们执行减法以查看是否有新的最大价格。时间线性，空间常数。
【讨论】：
[10, 4, 6, 8, 2, 5, 3, 9, 1]。
将上面的列表转换为 O(n) 中的梯度。 [-6,2,2,-6,3,-2,6,-8]
应用 Kadane 算法求最大子数组 O(n)： http://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_subarray_problem
^修改存储起始位置和结束位置。
使用 kadane 算法中的起始位置来查找原始数组的起始和结束位置。
【讨论】：