如何在二维矩阵中找到成本最低的路径

Question

我有一个挑战，目标是获得最低的路径成本。 该路径可以水平或对角线进行。不是垂直的。如下所示。 而且第一行和最后一行也是相邻的。

例如见下面的矩阵：

output for 1st matrix :
16
1 2 3 4 4 5-->path row number

output for second matrix:
11
1 2 1 5 4 5-->path row number

我在 java 中做这件事，我得到的是最低路径，但没有得到使用行号打印路径的路径。

int minCost(int cost[r][r], int m, int n)
{
   if (n < 0 || m < 0)
      return Integer.MAX_VALUE;;
   else if ((m == r-1 && n == c-1)|| n+1>=c)
      return cost[m][n];
   else
      return cost[m][n] + min( minCost(cost, m+1>=r?r-1:m+1,n+1),
                                         minCost(cost, m,n+1),
                                minCost(cost, m-1>=0?m-1:r-1,n+1));
    }
// calling it 
minCost(cost, 0, 0);

如何获取最短路径的行号？

Answer 1

我将尝试扩展 fabian 的评论：

很明显，如果使用相同的参数调用您的 minCost 函数，它将返回相同的值。在您的算法中，它确实会以相同的值被调用很多次。对第 0 列的每次调用都会为第 1 列生成 3 次调用，这反过来又会为第 2 列生成 9 次调用，依此类推。最后一列将获得大量调用（fabian 指出的 3^r），其中大多数会重新计算非常其他调用的值相同。

我们的想法是存储这些值，这样就不需要在每次需要时重新计算它们。一个非常简单的方法是创建一个与原始矩阵大小相同的新矩阵，并逐列计算到达每个单元格的最小总和。第一列将是微不足道的（只需从原始数组中复制，因为只涉及一个步骤），然后继续使用已计算的值来处理其他列。

之后，您可以通过仅将第二个矩阵替换为两列来优化空间使用，因为一旦您完全计算了列 n，您将不需要列 n-1。这可能有点棘手，所以如果你不确定我建议第一次使用完整的数组。

Answer 2

你的算法效率很低。我能想到的最好的解决方案是向后计算（从右到左）。考虑第二个矩阵的右 2 列：

8 6
7 4
9 5
2 6 
2 3

如果现在我们在值为 8 的单元格上，下一步可能是 6/4/3。当然我们选择 3 是因为我们想要更小的成本。如果现在我们在值为 7 的单元格上，下一步可以是 6/4/5，我们将选择 4。这样两列可以合并为一列：

11   //8+3
11   //7+4
13   //9+4
5    //2+3
5    //2+3

现在重复最后两列：

2  11
2  11
9  13
3  5
1  5

最后将矩阵合并为一列，列中的最小值成本最低。