递归函数计算概率

Question

A 要么以 1 - p 的概率赶上他的公共汽车，要么以 p 的概率错过它。在前一种情况下，他准时到办公室，在后一种情况下，他迟到了。 A 知道如果 A 连续两天迟到，他的老板会生气。对于给定的 n 天数和 p，A 想要计算 n 天后他的老板不会生气的概率。

例如，如果n = 2，那么让老板生气的唯一方法就是两个两天都迟到。由于不同日子的事件是独立的，所以这个事件发生的概率是 p*p = p^2。因此，不让老板生气的概率是 1 - p^2

def probability_not_angry(n, p):
  if n == 0:
    return 1
  if n == 1:
    return 1
  return probability_not_angry(n-1, p) + probability_not_angry(n-2, p)
  
# should print 0.5
print(probability_not_angry(4, 0.5))
# should print 0.4375
print(probability_not_angry(2, 0.75))

我不知道如何解决这个问题。如果返回probability_not_angry(n-1, p) +probability_not_angry(n-2, p)，它只计算n，所以我必须改变函数中的p，但现在知道该怎么做了。

谢谢

Answer 1

这基本上是条件概率。 将您的随机世界的实现想象为像 CMCCMC.... 用于 Catch/Miss 的序列。 Not-Angry 表示序列中没有 MM。从头开始递归：如果 C 发生（概率为 1-p），则问题变为 (n-1,p)。如果 MC 发生，概率为 (1-p)*p，问题变为 (n-2,p)。 MM 发生时不需要考虑，因为（不生气的）条件概率为 0。

def probability_not_angry(n, p):
    if n <2:
        return 1
    return (1-p)*probability_not_angry(n-1, p) + p*(1-p)*probability_not_angry(n-2, p)

顺便说一句，即使使用正确的缓存，这种递归的计算复杂度也不是很高。正确的方法是线性求解：

def Linear(n,p):
    R=[1,1]
    for _ in range(n-1):
        R.append((1-p)*R[-1]+(1-p)*p*R[-2])
    return R[-1]
print(Linear(4,0.5))
print(Linear(2,0.75))