最小带宽问题答案

【问题标题】：Minimum Bandwidth Problem最小带宽问题
【发布时间】：2011-08-02 18:18:13
【问题描述】：

我对寻找图的最小带宽的 NP 完全“最小带宽”问题很感兴趣。对于那些不熟悉的人，这里有一个关于它的链接......

http://en.wikipedia.org/wiki/Graph_bandwidth

我已经实现了 Cuthill-McKee 算法，这非常成功地为我提供了带宽减少的顶点的排列；但是，我正在寻找最小带宽，而不仅仅是接近的减少带宽。如果你们中有人遇到过这个问题，哪些算法提供的解决方案是最小，而不仅仅是减少 ?我不需要任何算法的实际实现，我只需要关于研究哪些算法可以产生实际最小带宽的建议。

【问题讨论】：

标签： algorithm graph bandwidth np-complete minimum

【解决方案1】：

您可以做的最简单的改进可能是获取您的 Cuthill-McKee 算法的结果并在其上抛出 Tabu Search。

请参阅this answer，了解一些可以应用的算法的概述。

【讨论】：

【解决方案2】：

这是一个有趣的问题，但是当我阅读 Wiki（您的链接）时：

未加权和加权版本是特殊情况二次瓶颈分配问题。带宽问题是 NP-hard，即使对于一些特殊的 [4]关于存在有效的逼近算法，它已知带宽是 NP-hard 在任何常数范围内近似，这甚至在输入时成立图表仅限于 Caterpillar 树（Dubey、Feige 和 Unger 2010）。在另一方面，一些多项式可解的特殊情况是已知的。

所以wiki说用任何常数来近似它是NP-Hard（所以这个问题没有PTAS），你的机会就是使用启发式算法，确保蛮力算法有效，（编号节点的数字介于1.. n 在启动时随机，之后使用蛮力）但你应该花 1000 年来解决毛毛虫的问题。您应该搜索启发式算法，而不是近似算法和精确算法。

【讨论】：

一千年对于蛮力来说可能是非常乐观的:)
感谢您的建议。我最终使用了 Cuthill-McKee 算法的近似值来建立最小带宽的上限。我还计算了下限，然后通过所有排列进行蛮力计算，仅考虑基于边界满足特定标准的排列。它为我提供了一个足够快的解决方案，以适应我正在使用的图形大小，并且比纯粹的蛮力要好得多！
@Nitrex88，干得好，但你找到了一个很好的启发式或......对于你的问题，而不是近似，近似意味着有一个近似因子限制你的答案最坏的情况，像这样的一些问题有没有近似因子，如果你找到一个算法（在 P 中），它是蛮力的多项式近似，你可以解决 NPC 问题，（我说这只是为了学习，在这种情况下说近似并不重要，但有时它很重要） .

【解决方案3】：

由于它是 NP 完整的，因此您必须使用某种“蛮力”算法。所以主要是你有不同的蛮力作为选项，例如像分支定界或线性规划（它的 LIP，所以它在 NP 中）。

由于它是 NP 完全的，您还可以通过从 NP 完全性证明转换问题实例，应用算法并将其转换回来，从而将每个解决方案用于不同的 NP 完全问题（TSP、SAT、...）。

【讨论】：

@Chris Hopman：原始海报写道：the NP-complete "minimum bandwidth"，我没有理由认为他错了。