我怎样才能制作出具有某种条件的最佳树

Question

我们有一个加权图，我们想要创建一个具有以下条件的最优树：

1) 树应该包含图中的所有顶点

2) 所有的树边都应该在图中

3) 从顶点 U 开始，到达任何其他具有最小路径的顶点。

使用初始图和我们想要制作具有最小权重的树的条件。

例如：

输入

6 8

1 2 30

1 3 20

2 3 50

4 2 100

2 5 40

3 5 10

3 6 50

5 6 60

4

输出： 230

解释： 我们有 6 个顶点和 8 个边。之后我们有 8 行带有树号。例如 (2 3 50) 表示顶点 2 与权重 50 的顶点 3 相连。

最后我们有一个数字显示起始顶点。

所以如果我们从顶点 4 开始并以最小路径到达所有其他顶点，我们可以得到一棵总权重为 230 的树

Answer 1

您可以使用Dijkstra's algorithm 和U 作为起始节点。它将为您提供到U 的所有顶点的最短距离。如果您只考虑那些用于计算到所有顶点的最短距离的边，您将得到所需的树。

现在要获得所有边缘，您需要对算法进行一些修改。您需要维护一个父数组，该数组保存有关当前顶点所依赖的顶点的信息（在计算最短距离时）。

例如，我们有两个顶点U 和V，并且从某个源S 到所有顶点的距离存储在distance[] 数组中。 现在假设我们在U 和V 之间有一条边E，权重W 和条件distance[U] > distance[V] + W 得到满足，那么U 的parent 将是V，因为distance[U] 现在取决于在distance[V]。

因此，我们将在更新distance 的算法中再添加一个步骤。最初 parent[source] 将是 source 本身，因为它不依赖于任何其他顶点。

现在最后，要获得所有边，您需要遍历 parent 数组并打印 index <-> parent[index]。

Java 示例代码：

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
import java.util.Scanner;

public class ModifiedDijkstra {
    public static final long INF = (long) 1e15;

    public static void main(String args[]) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int totalVertices = sc.nextInt();
        int totalEdges = sc.nextInt();

        ArrayList<Edge> adjacencyList[] = new ArrayList[totalVertices + 1];

        for (int i = 1; i <= totalVertices; i++)
            adjacencyList[i] = new ArrayList<>();

        for (int i = 0; i < totalEdges; i++) {
            int u = sc.nextInt();
            int v = sc.nextInt();
            long weight = sc.nextInt();

            adjacencyList[u].add(new Edge(v, weight));
            adjacencyList[v].add(new Edge(u, weight));
        }

        int source = sc.nextInt();   //Source Index
        long distance[] = new long[totalVertices + 1];
        long edgesWeights[] = new long[totalVertices + 1];
        Arrays.fill(distance, INF);

        int parent[] = new int[totalVertices + 1];
        distance[source] = 0;
        parent[source] = source;

        Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
        queue.add(source);

        while (!queue.isEmpty()) {
            int currVertex = queue.poll();

            for (Edge edge : adjacencyList[currVertex]) {
                if (distance[edge.endVertex] > distance[currVertex] + edge.weight) {
                    distance[edge.endVertex] = distance[currVertex] + edge.weight;
                    parent[edge.endVertex] = currVertex;
                    edgesWeights[edge.endVertex] = edge.weight;
                    queue.add(edge.endVertex);
                }
            }
        }

        System.out.println("TREE : ");

        long edgesSum = 0;

        for (int i = 1; i <= totalVertices; i++) {
            if (parent[i] == i) //source
                continue;

            //Vertex1 <-> Vertex2 : Weight
            System.out.println(i + " <-> " + parent[i] + " : " + edgesWeights[i]);
            edgesSum += edgesWeights[i];
        }

        System.out.println("Sum of the weights of all edges is : " + edgesSum);


    }
}

class Edge {
    int endVertex;
    long weight;

    public Edge(int endVertex, long weight) {
        this.endVertex = endVertex;
        this.weight = weight;
    }
}

输入：

6 8

1 2 30

1 3 20

2 3 50

4 2 100

2 5 40

3 5 10

3 6 50

5 6 60

4

输出：

TREE : 
1 <-> 2 : 30
2 <-> 4 : 100
3 <-> 2 : 50
5 <-> 2 : 40
6 <-> 3 : 50
Sum of the weights of all edges is : 270