什么是固定点？答案

【问题标题】：What is the fixed point of fix?什么是固定点？
【发布时间】：2016-06-04 00:17:42
【问题描述】：

最近的一位最好匿名的发帖人试图像这样实现阶乘函数：

f :: Int -> Int
f = fix f

这显然效果不太好。但后来我想知道：我可以让它通过类型检查器吗？它的类型会揭示什么？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

确实，由于多态递归，它会在给定更通用的类型时进行类型检查：

f :: a
f = fix f

通过参数化，我们立即可以看出它一定是底部，根据fix的定义，它一定是无限循环而不是异常。

chi comments，“出于同样的原因，f = bar f 将与任何 bar :: F a -> a “工作”，其中 F a 是任何类型（可能取决于 a）”。定义如下所示：

foo :: forall f a .
       (forall b . f b -> b) -> a
foo g = g (foo g)

再一次，类型签名在参数上是伪造的，因为我可以选择，例如，f ~ Const Void，此时很明显，第一个参数对于产生结果是无用的。

【讨论】：

有趣。出于同样的原因，f = bar f 将与任何bar :: F a -> a“工作”，其中F a 是任何类型（可能取决于a）。例如。 proj2 :: (a,a) -> a。我实际上认为fix 并没有什么特别之处，它在这里被利用了。
关于fix，这些也类型检查：f3 :: a -> a ; f3 = fix f3 和f4 :: (a -> a) -> a -> a ; f4 = fix f4。仍然需要多态递归（当然！），但我发现有趣的是，我们的类型比 ::a 更多（我猜是无限多）。
@chi，请查看我对您第一条评论的回复。您的第二个也是有效的，但是因为 Haskell 的邪恶 seq 可以区分 ⊥、const ⊥、const (const ⊥) 等，所以最通用的 forall a . a 输入也是最多信息的。
答案中的参数化是什么意思？我不能立即看到它是参数化的底部。
@Sibi，forall a . a 类型的东西必须能够为任何a 生成a 类型的东西，而无需任何关于a 的信息。这是不可能的，但对于⊥。