McCarthy 91 函数的工作原理答案

【问题标题】：How McCarthy 91 function worksMcCarthy 91 函数的工作原理
【发布时间】：2017-11-09 23:17:34
【问题描述】：

我有以下基于麦卡锡91原则的功能：

mc91 :: Integer -> Integer
mc91 n
    | n > 100 = n - 10
    | otherwise = mc91 (mc91 (n + 11))

当我输入序曲mc91 85 时，我得到了91。

我无法配置它，它是如何扩展的，为什么我有91。

【问题讨论】：

标签： haskell recursion fixpoint-combinators

【解决方案1】：

我们先来分析一下函数。有两种情况：

如果是n > 100，那么我们返回n-10；和
在n <= 100 的情况下，我们计算n+11，然后我们执行两个额外的步骤。

因此，有两个可能的“步骤”：一个是减 10，另一个是增加 11。我们可以用图表将其可视化，例如：

第一种情况的边缘用黑色表示，后一种情况的边缘用红色表示。

我们注意到这里有一个循环：92 -> 103 -> 93 -> 104 -> 94 -> 105 -> 95 -> 106 -> 96 -> 107 -> 97 -> 108 -> 98 -> 109 -> 99 -> 110 -> 100 -> 111 -> 101 -> 91 -> ...

现在让我们假设——不管原始值如何——我们总是会进入那个循环。现在循环总是将黑色边缘和红色边缘交错，111 -> 101 -> 91 部分除外，它由两个黑色边缘组成。

由于红色边缘引入了两个额外的递归调用，这意味着，如果我们采用红色跃点，我们将免费获得下一个黑色和红色跃点。下一个红色跃点将再次向“待办事项列表”添加两个递归调用。因此，如果我们从循环中开始，并且我们首先进行红色跳跃，我们将继续在循环中运行。只要我们不采用循环的111 -> 101 -> 91 部分，这就是成立的。由于那是两条黑边，我们可以摆脱递归调用来执行，因此在91 处停止（因为我们总是在每个红色跃点获得两个额外的跃点）。

结果，如果我们从循环中的某个节点开始，然后立即进行一次红色跃点，无论我们还需要执行多少次递归调用，我们最终都会在 91 处停止：每次我们执行一个完整的循环，我们“丢失”了一个递归调用，所以最终我们将用完剩余的递归调用并在 91 处停止。所以现在我们知道，如果我们从94 开始，使用任意数量的递归调用，我们将停在 91。

现在我们仍然需要证明 - 假设数字小于 100 - 我们将最终进入循环，并且我们在循环中遇到的第一个节点是红色边缘开始的节点。我们知道 91..100 范围内的所有数字都在循环中。任何小于 91 的数字都将导致红色跃点，并以 11 递增。因此 - 如图中部分所示 - 所有小于 91 的数字最终将在 [91..100] 范围内始终使用红色边缘。

基于上述推理，更高效的函数版本是：

mc91' n | n > 100 = n-10
        | otherwise = 91

现在对于您给定的示例输入 (85)，我们看到程序将评估为：

   mc91 85
-> mc91 (mc91 96) -- we are in the loop now
-> mc91 (mc91 (mc91 107))
-> mc91 (mc91 97)
-> mc91 (mc91 (mc91 108))
-> mc91 (mc91 98)
-> mc91 (mc91 (mc91 109))
-> mc91 (mc91 99)
-> mc91 (mc91 (mc91 110))
-> mc91 (mc91 100)
-> mc91 (mc91 (mc91 111))
-> mc91 (mc91 101)
-> mc91 91 -- we reached 91, and thus removed one recursive call
-> mc91 (mc91 102)
-> mc91 92
-> mc91 (mc91 103)
-> mc91 93
-> mc91 (mc91 104)
-> mc91 94
-> mc91 (mc91 105)
-> mc91 95
-> mc91 (mc91 106)
-> mc91 96
-> mc91 (mc91 107)
-> mc91 97
-> mc91 (mc91 108)
-> mc91 98
-> mc91 (mc91 109)
-> mc91 99
-> mc91 (mc91 110)
-> mc91 100
-> mc91 (mc91 111)
-> mc91 101
-> 91 -- we hit 91 a second time, and now the last recursive call is gone

【讨论】：

【解决方案2】：

让我们扩展您的代码：

mc91 85
mc91 (mc91 96)
mc91 (mc91 (mc91 107))
mc91 (mc91 97)
mc91 (mc91 (mc91 108))
mc91 (mc91 98)
mc91 (mc91 (mc91 109))
mc91 (mc91 99)
mc91 (mc91 (mc91 110))
mc91 (mc91 100)
mc91 (mc91 (mc91 111))
mc91 (mc91 101)
mc91 91... --It is a pattern here
...
mc91 101
91

如果您看到递归调用，您会意识到一旦达到 100 或更高，它将减少它，以 (mc91 101) 调用结束，这将为我们带来最后一个 91 结果。

【讨论】：

我认为107行中有太多mc91。应该只有三个吧？这会传播到后续行。