树的路径长度的递归定义答案

【问题标题】：recursive definition of path length of a tree树的路径长度的递归定义
【发布时间】：2012-09-13 19:27:30
【问题描述】：

计算树的路径长度的一种简便方法是对所有 k 求和，将 k 与第 k 层节点数的乘积相加。

一棵树的路径长度是树的所有节点的层级之和。路径长度可以有如下简单的递归定义。

具有N个节点的树的路径长度是其根的子树的路径长度之和加上N-1。

我无法遵循上述递归定义。请用简单的例子解释。

【问题讨论】：

空树或普通二节点树的路径长度是多少？只有这样，递归定义才完成。我不太明白这个路径长度是多少或它的用途，但如果您认为具有 N 个顶点的树有 N-1 条边，它可能会有所帮助。
@bixilop：我在上面添加了一些信息。希望对回答有帮助

标签： algorithm recursion tree

【解决方案1】：

             A
           /   \
          B     C
         / \   / \
        D   E F   G

这里，N = 总数。树中的节点数 = 7

（叶子节点的路径长度取为零。）

累加。递归定义：

Path length of tree = Path length with Root A
                    = Path length with Root B + Path length with Root C + (7-1)

                    = (Path length with Root D + Path length with Root E + (3-1))
                    + (Path length with Root F + Path length with Root G + (3-1))
                    + (7-1)

                    = ((0 + 0 + 2) + (0 + 0 + 2)) + 6
                    = 10

它的实现可以如下：

int Recurse(Node root, int totalNodes)
{
    if (totalNodes == 1)
        return 0;
    int noOfNodes1 = CountNodes(root.left);
    int noOfNodes2 = CountNodes(root.right);
    return ( Recurse(root.left, noOfNodes1)
           + Recurse(root.right, noOfNodes2) + totalNodes - 1);
}

【讨论】：

你的解释是错误的。在您的示例中，有子树 B 和 C。它们的路径长度均为 2：3 个节点 - 1。现在，对于整个子树，它是 7 - 1 + 两个子树 = 10。
不，是10。你犯的错误是只有一个节点的树的路径长度是0，而不是1。
你的意思是叶子节点处于零级吗？如果是，那么可能是 10。
仍然不正确：应该没有。一棵只有一个节点的树的路径长度为 0。从它到子树 B 是：0 + (3-1)=2。
是的，subtree starting at <leaf node>的路径长度是(1-1) = 0。

【解决方案2】：

理解递归

路径长度可以有如下简单的递归定义。

具有N个节点的树的路径长度是其根的子树的路径长度之和加上N-1。

首先，你要了解什么是路径长度：它是节点到根节点之间所有距离的总和。

考虑到这个想法，很容易看出没有子节点的根节点的路径长度为 0：没有节点与根节点有距离。

假设我们已经知道一些树的路径长度。如果我们要创建一个新节点 R，将我们已有的所有树连接到该节点，请考虑到根节点的距离如何变化。

以前，距离测量到树的根（现在是子树）。现在，对根节点还有一步，即所有距离都增加一。

因此，我们添加N - 1，因为有来自根节点的N - 1 后代，现在它们都离根更远，还有1*(N-1) = N-1

您可以通过多种方式轻松计算路径长度，您可以计算边数或节点数。

计算节点

             A        Level 0
           /   \      
          B     C     Level 1
         / \   / \
        D   E F   G   Level 2

我们从路径长度 0 开始：

节点A 是根，始终位于级别0。它对路径长度没有影响。（您无需遵循任何路径即可到达它，因此为 0）
- 0 + (0) = 0
在级别 1，您有两个节点：B 和 C：
- 0 + (1 + 1) = 2
在级别 2，您有四个节点：D, E, F 和 G：
- 2 + (2 + 2 + 2 + 2) = 10

计算边数

             A        
           /   \      Level 1
          B     C     
         / \   / \    Level 2
        D   E F   G

0，我们的初始总和
+ 1*2在水平1，有2边
+ 2*4在水平2，有4边

将定义转化为数学

计算树的路径长度的一种简便方法是对所有 k 求和，将 k 与第 k 层节点数的乘积相加。

令L_i 表示i 层上的节点集，h 表示高度，即从节点到根的最大距离：

【讨论】：