设计一种算法，使负载最重的服务器上的负载最小化

Question

阅读 Aziz & Prakash 2021 的书我有点卡在问题 3.7 以及我正在尝试实施的相关解决方案上。

问题说：

您有 n 个具有唯一哈希值 h1 到 hn 的用户，并且 m 个服务器，编号为 1 到 m。用户 i 有 Bi 字节要存储。你需要 找到数字 K1 到 Km 使得所有用户之间的哈希值 Kj 和 Kj+1 被分配给服务器 j。设计一个算法来找到 数字 K 1 到 Km，将最重的负载降至最低 加载的服务器。

解决方案说：

令 L(a,b) 为服务器上的最大负载，当 具有哈希 h1 到 ha 的用户被分配到服务器 S1 到 Sb 一种最佳方式，使最大负载最小化。我们观察到 以下重复：

换句话说，我们找到正确的 x 值，这样如果我们打包 b - 1 个服务器中的前 x 个用户，最后一个服务器中的剩余用户最大 给定服务器上的负载最小化。 使用这种关系，我们可以将 L 的值制成表格，直到我们得到 L(n,m)。在将 L 的值制成表格时计算 L(a,b) 对于 a 和 b 的所有较低值，我们需要找到 x 的正确值 最小化负载。当我们增加 x 时，上式中的 L(x,b-1) 增加，总和项减少。我们可以对 x 进行二分搜索以找到使它们的最大值最小的 x。

我知道我们可能可以使用某种动态编程，但是我们怎么可能将这个想法实现到代码中呢？

Answer 1

动态规划算法的定义相当好，给出了这个公式：实现一个自上而下的 DP 算法只需要你从 x = 1 to a 循环并记录哪个最小化 max(L(x,b-1), sum(B_i)) 表达式。

但是，对于这个问题，您应该考虑一种更简单（更快）的贪婪/二分搜索算法，如下所示：

1. 计算 B 的前缀总和

2. 找到L的最小值，这样我们就可以将B划分为m个最大和等于L的连续子数组。

   • 我们知道 1 canSplit(v) 测试我们是否可以将 B 拆分为 sum v 的子数组。
   • canSplit(v) 贪婪地工作：从 B 的开头删除尽可能多的元素，这样我们的总和就不会超过 v。重复此操作共 m 次；如果我们使用了所有的 B，则返回 True。
   • 您可以使用前缀 sum 在 O(m log n) 时间内运行 canSplit，并进行额外的内部二分搜索。

3. 给定L，使用与canSplit函数相同的策略来确定m-1个分割点；从那里找到 m 个分区边界。