获取子矩阵中不同元素的数量

Question

这是a problem from the December 2013 CodeChef Challenge，比赛已经结束。

问题陈述：

输入： n 阶方阵和表示子矩阵的查询。

(x1, y1, x2, y2)

x1, y1 表示左上角，x2, y2 表示子矩阵的右下端。

输出：此子矩阵中不同元素的数量。

约束：

• 时间限制 = 1 秒
• 1≤N≤300
• 1≤Q≤10^5
• 1≤Ai,j≤10
• 1≤X1≤X2≤N​​i>
• 1≤Y1≤Y2≤N​​i>

这是我尝试过的：

#include<stdio.h>
//#include<conio.h>
int main()
{
  //clrscr();
  int a[300][300], test[100000], count[10], m, n, c, j, p, q, r, s;
  long qu, re, i;

  scanf("%d", &n);

  for (i = 0; i < n; i++)
  {
    for (j = 0; j < n; j++)
    {
      scanf("%d", &a[i][j]);
    }
  }

  scanf("%ld", &qu);
  for (re = 0; re < qu; re++)
  {
    c = 0;
    for(i = 0; i < 10; i++)
    {
      count[i] = 0;
    }

    scanf("%d %d %d %d", &p, &q, &r, &s);
    for (i = (p-1); i < r; i++)
    {
      for (j = (q-1); j < s; j++)
      {
        m = a[i][j];
        count[--m]++;
      }
    }

    for (i = 0; i < 10; i++)
    {
      if (count[i] != 0)
      {
        c++;
      }
    }
    test[re] = c;
  }

  for(i = 0; i < qu; i++)
  {
    printf("%d\n", test[i]);
  }

  //getch();
  return 0;
}

但我收到了 TLE（超出时间限制）错误。

它必须与每个数字的累积频率有关。

有人可以为这个问题提出一个有效的算法吗？

Answer 1

初始化并跟踪哈希映射。

遍历子矩阵的条目，并且对于每个条目，

• 检查它是否已经在哈希映射中；
• 如果不是，则将 total_distinct_entries 加 1，并将此条目添加到哈希映射中。

见http://en.wikipedia.org/wiki/Hash_table。

编辑：另见http://en.wikipedia.org/wiki/Set_data_structure，特别是关于实现的部分。在 C++ 中，标准库中提供了 std::set 数据结构。

Answer 2

已编辑

（使用 1 个基于索引的索引）

第一次尝试：

执行蛮力，将每个数字的计数存储在问题发布者给出的计数数组中，但这肯定会在很多测试用例中超时。

第二： 由于我们知道条目最多只能是 10 我们可以尝试存储每个数字在子矩阵 (1,1) 到 (i,j) 中出现的次数。 假设这个矩阵是 Q。Q[i][j][k] 给出了 k 在 i,j 子矩阵中出现的次数。

这可以有效地计算如下：

for i from 1 to n
    for j from 1 to n
       for k from 0 to 10
            Q[i][j][k] = Q[i-1][j][k] + Q[i][j-1][k] - Q[i-1][j-1][k]
       Q[i][j][A[i][j]]++

这可以在 O(n^2 * (k)) 时间内完成。由于 k 小于 10，因此非常有效。

现在回答问题很容易：

对于一个查询 (x1,y1) - (x2,y2)

int count[10]
for k from 0 to 10
   // x is row and y is column
   count[k] = Q[x2][y2][k] - Q[x1-1][y2][k] - Q[x2][y1-1][k] + Q[x1-1][y1-1][k]

这会在 O(k) 时间内回答所有查询。因为 k 是从 0 到 10。它在时间限制之内。