具有 1 个构造函数的 SML 多类型二叉树

Question

我正在尝试实现一个二叉树，其中每个节点都可以保存'a 类型或'b 类型的信息。简单的解决方案是使用 2 个这样的构造函数：

datatype ('a, 'b) Tree = Lf
                | Br1 of 'a * (('a, 'b) Tree) * (('a, 'b) Tree)
                | Br2 of 'b * (('a, 'b) Tree) * (('a, 'b) Tree);
Br1(100,Lf,Br2("hello",Lf,Lf));
>val it = Br1 (100, Lf, Br2 ("hello", Lf, Lf)): (int, string) Tree;

但是，我想使用 1 个构造函数，因此结果如下：

Br(100,Lf,Br("hello",Lf,Lf));
>val it = Br (100, Lf, Br ("hello", Lf, Lf)): (int, string) Tree;

模式匹配似乎不起作用，它在调用 Br 时返回一个长类型冲突错误：

datatype ('a, 'b) Tree = Lf
            | Br of 'a * (('a, 'b) Tree) * (('a, 'b) Tree)
            | Br of 'b * (('a, 'b) Tree) * (('a, 'b) Tree);

我感觉它与联合数据类型有关，所以我尝试了以下方法，但是当我尝试像这样调用 Br 时，它给出了一个错误：

local
datatype ('a,'b) u = t1 of 'a
                    | t2 of 'b;
in
datatype ('a, 'b) Tree = Lf
                | Br of ('a,'b) u * (('a, 'b) Tree) * (('a, 'b) Tree);               
end;

Br(100,Lf,Br("hello",Lf,Lf));
Elaboration failed: Unbound type "u".

可能是语法不对，还是我的想法不对？

Answer 1

你们很亲密。

由于你的联合类型是local，你根本不能在('a, 'b) Tree的定义之外使用它。

这个问题很容易解决——让它不是本地的：

datatype ('a,'b) u = t1 of 'a
                   | t2 of 'b;

datatype ('a, 'b) Tree = Lf
                       | Br of ('a,'b) u * (('a, 'b) Tree) * (('a, 'b) Tree);               

（u 类型通常非常有用，通常称为“任意”，有时也称为“变体”。我不知道为什么它不在 SML 基础库中。）

第二个问题是您需要使用u 的构造函数来创建u 的值，就像其他任何地方一样：

- Br(t1 100,Lf,Br(t2 "hello",Lf,Lf));
val it = Br (t1 100,Lf,Br (t2 #,Lf,Lf)) : (int,string) Tree

没有办法避免值的显式构造。
（任何人都无法猜测int 是t1 还是t2 类型；(int, string) u 和(string, int) u 是不同的类型。）

Answer 2

非叶​​节点的构造函数应该是单数的，并且没有来自用户的附加信息，例如他想要构建树的值的类型。我认为我的结果示例解释了它。

我将提供另一个答案，因为现在给出的两个答案都不能令人满意。正如我所评论的，如果您想要一个采用 int 或 string 的单个构造函数，您需要 ad-hoc polymorphism 而不是 参数多态性。

与这个 OCaml 问题有一些相似之处：Make OCaml function polymorphic for int lists and float lists——主要区别在于该问题需要一个函数，而该问题需要一个数据类型定义。正如 Jeffrey Scofield 指出的那样（在您的情况下将类型调整为 int 和 string）：

int 和 string 的唯一常见类型是 'a，即任何类型。由于该值可以是任何值，因此您无法对其应用特定操作。所以没有直接的方法来编写你想要的函数。

但正如我也回答的那样，OCaml 有一个名为“模块化隐式”的实验性扩展，它允许您编写将模块作为参数的函数，并且在这些模块中，您可以提供类型参数，以及一个常见的函数接口两种或多种类型。我不知道标准 ML 有类似的东西。

您所要求的可以归类为heterogenous tree，而在Haskell 中，您可以使用ExistentialQuantification 或GADTs GHC 扩展来实现。通常情况下，Haskell 的一些重载机制在 ML 模块系统中有一些类似的用途，但在 GADT 的情况下，我能找到的最好的是encoding of GADTs in the ML module system using Church numerals，所以这更像是一个证明——概念上的，而不是实际的解决方案。

Answer 3

一棵二叉树，其中每个节点都可以保存类型'a或类型'b的信息

虽然您可以使用单个二叉树类型来执行此操作，但我会将其拆分为两种数据类型：树类型和“'a 或 'b 类型”，因为这两者都是规范数据类型，这意味着它们可以被函数式程序员识别。

datatype 'a tree = Leaf | Branch of 'a * 'a tree * 'a tree

datatype ('b, 'c) either = One of 'b | Other of 'c

val someTree = Branch (One 100, Leaf, Branch (Other "hello", Leaf, Leaf))

这棵树的类型是(int, string) either tree。

使用One 为值添加前缀时，它采用'b 类型的值，而在使用Other 前缀的值时，它采用'c 类型的值。请注意，它们可能在这里被命名为 'a 和 'b，但我认为在将 'a' 替换为 ('b, 'c) either 时，给它们新的变量名会减少混淆。

（还请注意，通常这种 ('b, 'c) either 类型具有名为 Left 和 Right 的构造函数，但我更改了它，因为“左”和“右”也对二叉树有意义，这可能会添加混淆。树的方向还是由位置决定的，所以第一个'a tree是左子树，第二个'a tree是右子树。）

您可以将这两种数据类型组合成一个定义，如下所示：

datatype ('a, 'b) eithertree =
    Leaf
  | BranchA of 'a * ('a, 'b) eithertree * ('a, 'b) eithertree
  | BranchB of 'b * ('a, 'b) eithertree * ('a, 'b) eithertree

val anotherTree = BranchA (100, Leaf, BranchB ("hello", Leaf, Leaf))

一些注意事项：

• 这两种数据类型是同构的：您可以创建一个将第一个数据类型映射到第二个数据类型的函数，以及将第二个数据类型映射到第一个数据类型的反函数。所以你想问问自己，如果它们可以互换，它们有什么优点和缺点。
• 类型构造函数现在是eithertree，因为它结合了两个概念。
• 之前，tree 类型的构造函数只接受一个'a 类型参数。现在eithertree 采用('a, 'b)，因为选择-'a-和-'b 机制已嵌入到树类型中。
• 值构造函数要简单一些：BranchA 自然地假定它的第一个参数是'a，其中Branch 每次都必须在One 前面显式地有One（同样对于@ 987654351@ 和 Other)。
• 数据类型定义有点复杂：每个对子树的自引用现在都更加复杂，因为它需要一对类型参数('a, 'b)，而不仅仅是像第一个'a tree那样的单个类型参数做过。我认为，这主要是必须定义数据类型时的一个缺点。这可能就是你被卡住的原因。
• ('a, 'b) eithertree 的组合性较差：假设您构建了一堆二叉树遍历函数。这些不适用于('a, 'b) eithertree，因为它们不是'a trees。但是('a, 'b) either tree 是 'a tree 与'a 是('a, 'b) either。因此，您可以重用更少的代码。