二叉树函数“叶子”的最坏情况复杂性分析

Question

我想知道我的复杂性分析（n 个元素/节点的 T 最坏情况）对于 Haskell 中的以下函数叶是否正确（注意：wurzel = 根；C = 常数因子）

--abstract data type for bin trees

data Bintree el = Empty
                  | Node {left :: Bintree el, root :: el, right :: Bintree el} 
                    deriving Show

--extract all leaves of a given Bintree (output: list)

leaves :: Bintree el -> [el]
leaves Empty = []
leaves (Node Empty root Empty) = [root]
leaves (Node left root right) = leaves left ++ leaves right

Answer 1

不，有很多错误。以下是一些比较明显的：

• 当你写T(n/2)+T(n/2)+T(n/4)+T(n/4)+... 时，你似乎假设一半的节点在左分支，一半在右分支。这并不总是正确的——有些树是平衡的，但有些肯定不是。
• 即使树是平衡的，也不仅有 2 个大小为 n/4 的子树，还有 4 个。同样，有 8 个大小为 n/8 的子树，而不是 2 个。
• 描述“将n除以2i次”的正确表达是n/(2^i)，而不是n/(i^2)。此外，尽管上面提到了关于平衡的评论，但您仍希望继续除法，直到您只到达一片叶子，因此省略号的正确基本情况是 T(n/n)，而不是 T(n/(2^n)) 或 T(n/(n^2)) 之一。
• 如果您反复除以 2，然后将结果相加，如 n + n/2 + n/4 + n/8 + n/16 + ...，则永远得到 2*n，而不是 log_2(n)。
• 无论如何，这不适用，因为您没有添加n 的倍数。 T(n) + T(n/2) + T(n/4) + T(n/8) + T(n/16) + ... 不一定以任何特殊方式与 T(2*n) 相关（也不与 T(log_2(n)) 相关）。例如，假设f(n) = 1。然后和 f(1) + f(1/2) + f(1/4) + f(1/8) + f(1/16) + ... = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... 发散，即使 f(1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...) = f(2) = 1。