T(n)=T(n-1)+1/n 的渐近复杂度 [关闭]答案

【问题标题】：Asymptotic complexity of T(n)=T(n-1)+1/n [closed]T(n)=T(n-1)+1/n 的渐近复杂度 [关闭]
【发布时间】：2013-03-17 08:48:35
【问题描述】：

有一种算法具有时间复杂度

    T(n)=T(n-1)+1/n if n>1
        =1          otherwise

我正在解决它的渐近复杂性，并将顺序设为“n”，但给出的答案是“log n”。这是正确的吗？如果是log n，那为什么？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

很容易看出（或用归纳法正式证明）T(n) 是从 1 到 n 的 k 值的 1/k 之和。这是第 n 个 harmonic number，H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n。

渐近地，谐波数在 log(n) 的数量级上增长。这是因为和的值接近于 1/x 从 1 到 n 的积分，它等于 n 的自然对数。事实上，H_n = ln(n) + γ + O(1/n) 其中 γ 是一个常数。由此，很容易证明 T(n) = Θ(log(n))。

【讨论】：

【解决方案2】：

更多详情：

H(N) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/N

函数x :-> 1/x 是一个递减函数，所以：

我们从1 to N 左侧部分求和，右侧部分从2 to N 求和，然后加上1，我们得到：

然后我们计算左右部分：ln(N+1) <= H(N) <= 1 + ln(N)

这意味着 H(N)/ln(N) -> 1 因此H(N)=Θ(log(N))

【讨论】：