如何索引 python 函数以在 for 循环中使用？

Question

我想弄清楚如何编写以下伪代码：

# Base-case
u_0(x) = x^3

for i in [0,5):
    u_(i+1)(x) = u_(i)(x)^2

所以最后我可以打电话给u_5(x)，例如。

我在完成上述任务时遇到的困难是找到一种方法来通过i 索引 Python 函数，以便我可以迭代地定义每个函数。

我尝试使用带有两个函数的递归来代替索引，但我得到“超出最大递归深度”。

这是一个最小的工作示例：

import math
import sympy as sym

a,b = sym.symbols('x y')

def f1(x,y):
    return sym.sin(x) + sym.cos(y)*sym.tan(x*y)

for i in range(0,5):
    def f2(x,y):
    return sym.diff(f1(x,y),x) + sym.cos(sym.diff(f1(x,y),y,y))

    def f1(x,y):
        return f2(x,y)

print(f2(a,b))

Answer 1

是的，一般的想法是“索引”结果以避免重新计算它们。实现这一点的最简单方法是“记忆”，这意味着告诉函数记住它已经计算的值的结果。

如果 f(i+1) 以 f(i) 为基础，其中 i 是自然数，这可能特别有效。

在 Python3 中，使用装饰器为 1 变量函数执行此操作非常简单：

import functools @functools.lru_cache(maxsize=None) def f(x): ..... return .... 想了解更多，可以咨询 What is memoization and how can I use it in Python?。 （如果您使用的是 Python 2.7，还有一种方法可以使用预打包的装饰器。）

您的具体情况（如果我对您的伪代码的理解是正确的）依赖于两个变量函数，其中 i 是整数变量，x 是符号（即不应该在这里解决）。所以你需要沿着 i 记忆。

为了避免在您粗暴地要求 5 的图像时炸毁堆栈（不知道为什么，但毫无疑问，递归比眼睛看到的要多），然后使用 for 循环来计算范围内的图像从 0 到 5（按此顺序：0、1、2...）。

我希望这会有所帮助。

Answer 2

答案其实很简单：

伪代码：

u_0(x) = x^3

for i in [0,5):
     u_(i+1)(x) = u_(i)(x)^2

实际代码：

import sympy as sym

u = [None]*6 #Creates an empty array of 6 entries, i.e., u[0], u[1], ..., u[5]

x=sym.symbols('x')

u[0] = lambda x: x**3

for i in range(0,5):
    u[i+1] = lambda x, i=i: (u[i](x))**2 #the i=i in the argument of the lambda function is 
     #necessary in Python; for more about this, see this question.

#Now, the functions are stores in the array u.  However, to call them (e.g., evaluate them, 
#plot them, print them, etc) requires that we "lambdify" them, i.e., replace sympy 
#functions with numpy functions, which the following for loop accomplishes:

for i in range(0,6):
    ulambdified[i] = sym.lambdify(x,u[i](x),"numpy")

for i in range(0,6):
    print(ulambdified[i](x))