是否可以使用（共）递归创建有效的重组树？答案

【问题标题】：Is it possible to create efficient recombining trees using (co)recursion?是否可以使用（共）递归创建有效的重组树？
【发布时间】：2021-04-04 10:04:15
【问题描述】：

协同递归是指展开一棵树，例如 Ed Kmett 的 recursion-schemes 中的 anamorphism@

通过重新组合树，我的意思是共享结构的图。例如，二项式 option pricing tree 或 Pascal's triangle。这两者都有一定的对称性，所以为了效率，我们希望避免重新计算树的一部分，而是重新使用已经计算过的分支。

n.b.这个问题不是关于计算上述示例中的值的巧妙方法；这是一个关于递归的一般问题。

例如，对于期权定价，可以这样生成树：

data Tree x = Leaf x | Branch x (Tree x) (Tree x)
ana \(x, depth) ->
  if depth == maxDepth
    then LeafF x
    else BranchF x (p * x, depth + 1) ( (1.0 - p) * x, depth + 1)     -- p < 1.0

所以“向上”分支中的值为p * x，而“向下”分支中的值为(1-p) * x。由于这种对称性，“up”后接“down”节点的值与“down”后接“up”分支的值相同。就像整个子树一样。

我认为有可能通过 State 以某种方式传递包含已计算节点的哈希图。

或者，如果我能以某种方式访问已经计算好的子树，我可以将它作为 Left 传递给 apomorphism。

是否有一些现有的态射允许这样做？或者我可以自己编码吗？

【问题讨论】：

在haskell中进行动态编程的典型方法是将所有（通常是无限多个）中间值存储在惰性数据结构中，利用运行时系统的状态来评估thunk，而不是显式地建模有状态。见memoization。我怀疑这可以适应递归组合器，它会很漂亮:-)

标签： haskell recursion binary-tree recursion-schemes

【解决方案1】：

ana 定义了一个递归函数x -> Tree a（给定一个代数alg :: x -> TreeF a x）。您可以使用专门的定点运算符定义ana 的记忆化版本（而通常的定义或多或少等同于使用fix），例如MemoTrie library。

memoFix :: (...) => ((a -> b) -> (a -> b)) -> (a -> b)
-- for some constraints "(...)" depending on the implementation.

-- ana': Memoized version of ana

type Memo a b = ((a -> b) -> (a -> b)) -> a -> b

memoAna :: Memo x (Tree a) -> (x -> TreeF a x) -> x -> Tree a
memoAna memo alg = memo $ \ana_ x ->
  case alg x of
    LeafF a -> Leaf a
    BranchF a x1 x2 -> Branch a (ana_ x1) (ana_ x2)

ana' :: HasTrie x => (x -> TreeF a x) -> x -> Tree a
ana' = memoAna memoFix

这可确保从同一种子 x 生成的所有树实际上都是同一棵树。

您还必须注意种子的类型。在您的示例中，使用(Double, Int)，Double 操作的不精确性使得记忆不可靠。所以你还需要修改代数。例如，由于价格始终采用p^i (1-p)^(depth-i) 的形式，您可以记住索引i。

optionsAlg' :: Num a => a -> (Int, Int) -> TreeF a (Int, Int)
optionsAlg' p (ups, depth) =
  if depth >= maxDepth then
    LeafF price
  else
    BranchF price (ups+1, depth+1) (ups, depth+1)
  where
    price = p ^ ups * (1 - p) ^ (depth - ups)

memoization 的实现需要权衡取舍。根据您的特定用例，可能需要进一步优化和调整。

【讨论】：