【问题标题】：~x + ~y == ~(x + y) is always false?~x + ~y == ~(x + y) 总是假的？
【发布时间】：2012-06-22 03:23:03
【问题描述】：

此代码是否总是评估为假？两个变量都是有符号整数的二进制补码。

~x + ~y == ~(x + y)

我觉得应该有一些满足条件的数字。我尝试测试-5000 和5000 之间的数字，但从未达到相等。有没有办法建立一个方程来找到条件的解决方案？

将一个换成另一个会导致我的程序中出现隐蔽的错误吗？

【问题讨论】：

你想要证明还是什么？
请注意，在有符号整数溢出的情况下，它在技术上是未定义的行为。所以它有可能返回true，即使他们永远不能假设严格的二进制补码。
@AlvinWong 是的，解释一下会很好
@Steve：您可以证明您已经尝试了所有组合中的所有常见嫌疑人（-1、0、1、2 等），以及您尝试“解决”小字长（三位？四位？）的问题。这肯定有助于让我们相信，我们不只是帮助某人获得他们没有首先尝试为自己赚取的东西。 :)
@AlexLockwood 当我第一次发布问题时，我假设将问题标记为“家庭作业”要求人们提供帮助我解决问题的线索（如“家庭作业”标签状态的描述）和不只是给出答案。这就是为什么我只是简单地问问题的问题:)

标签： c bit-manipulation signed twos-complement

【解决方案1】：

只考虑x 和y 的最右边位（即，如果x == 13 是基数为2 的1101，我们将只看最后一位，1）然后有四种可能的情况：

x = 0，y = 0：

LHS：~0 + ~0 => 1 + 1 => 10
右轴：~(0 + 0) => ~0 => 1

x = 0，y = 1：

LHS：~0 + ~1 => 1 + 0 => 1
右轴：~(0 + 1) => ~1 => 0

x = 1，y = 0：

我会留给你，因为这是作业（提示：它与之前的 x 和 y 交换相同）。

x = 1，y = 1：

我也会把这个留给你。

在给定任何可能的输入的情况下，您可以证明等式左侧和右侧的最右边的位总是不同的，因此您已经证明两边不相等，因为它们至少有那个位是相互翻转的。

【讨论】：

【解决方案2】：

啊，基础离散数学！

查看De Morgan's Law

~x & ~y == ~(x | y)

~x | ~y == ~(x & y)

对于布尔证明非常重要！

【讨论】：

完全错了。在 C + 中是加法，* 乘法而不是布尔或或与。
感谢您指出不正确的运算符，nalply。它现在已使用正确的运算符进行了更新，尽管您是正确的，它不适用于原始问题。
好吧，如果 true 为 1，false 为 0，那么 + 和 * 的行为与 or 和 and 完全一样，而且二进制补码的行为类似于 not，因此仍然适用法律。
感谢您指出这一点，a1an。我试图思考德摩根定律如何仍然适用于最初的问题，但自从我学习 C 编程或离散数学以来已经有好几年了。

【解决方案3】：

C 不要求二进制补码是实现的。但是，对于无符号整数，应用了类似的逻辑。在这个逻辑下，差异永远是 1！

【讨论】：

【解决方案4】：

让MAX_INT 成为由011111...111 表示的整数（不管有多少位）。那么你知道~x + x = MAX_INT和~y + y = MAX_INT，所以你肯定知道~x + ~y和~(x + y)之间的区别是1。

【讨论】：

【解决方案5】：

当然，C 不需要这种行为，因为它不需要二进制补码表示。例如~x = (2^n - 1) - x & ~y = (2^n - 1) - y 会得到这个结果。

【讨论】：

【解决方案6】：

二的补码

在大量大多数计算机上，如果x 是整数，则-x 表示为~x + 1。等效地，~x == -(x + 1)。在你的等式中进行这个代入给出：

~x + ~y == ~(x + y)
-(x+1) + -(y+1) = -((x + y) + 1)
-x - y - 2 = -x - y - 1
-2 = -1

这是一个矛盾，所以~x + ~y == ~(x + y) 总是false。

也就是说，学究们会指出C不需要补码，所以我们还必须考虑......

一个人的补充

在one's complement 中，-x 被简单地表示为~x。零是一种特殊情况，同时具有全 0 (+0) 和全 1 (-0) 表示，但 IIRC、C 需要 +0 == -0，即使它们具有不同的位模式，所以这不应该是问题。只需将~ 替换为-。

~x + ~y == ~(x + y)
-x + (-y) = -(x + y)

这对于所有x 和y 都是true。

【讨论】：

+1 表示实际上同时考虑二进制补码和一个补码的答案。
@dan04，+0 == -0。最后是在 C 中有意义的东西。:)

【解决方案7】：

提示：

x + ~x = -1 (mod 2ⁿ)

假设问题的目标是测试您的数学（而不是您阅读 C 规范的技能），这应该可以帮助您找到答案。

【讨论】：

仅在补码机器上。（C 标准不要求）
@Billy：这就像在说“只适用于两个武装的人”。
@dan04：不，不是。我想说所有带符号的幅度和补码表示都已从世界上消失了。但我这样说是错的。 C 标准不允许您做出这样的假设。因此，我会说做出这种假设的代码大多数时候都是糟糕的代码。（特别是当通常有更好的方法来处理有符号数字而不是位旋转时；尤其是当无符号数字在大多数情况下可能是更好的选择时）

【解决方案8】：

为了矛盾起见，假设存在一些 x 和一些 y (mod 2ⁿ) 使得

~(x+y) == ~x + ~y

通过补码*，我们知道，

      -x == ~x + 1
<==>  -1 == ~x + x

注意到这个结果，我们有，

      ~(x+y) == ~x + ~y
<==>  ~(x+y) + (x+y) == ~x + ~y + (x+y)
<==>  ~(x+y) + (x+y) == (~x + x) + (~y + y)
<==>  ~(x+y) + (x+y) == -1 + -1
<==>  ~(x+y) + (x+y) == -2
<==>  -1 == -2

因此，矛盾。因此，~(x+y) != ~x + ~y 适用于所有 x 和 y（mod 2ⁿ）。

^{*有趣的是，在具有补码算法的机器上，等式实际上适用于所有x 和y。这是因为在一个补码下，~x = -x。因此，~x + ~y == -x + -y == -(x+y) == ~(x+y).}

【讨论】：

当然，C 不需要这种行为；因为它不需要二进制补码表示。
顺便说一句，等式是 true 的补码。通常，NOT 运算并没有真正为数字定义，因此将 NOT 与加法混合会导致不同的行为，具体取决于数字的表示。
可以将问题重述为 无符号整数，然后二进制补码根本不起作用。
更简单，恕我直言：~x == -(x+1)，所以~(x+y) == ~x + ~y 暗示-(x+y+1) == -(x+1) + -(y+1) 暗示-1 == -2
@BillyONEal，别担心，我只是在开玩笑，我很感激你提到它:)。我会在我遇到一台执行补码算术的机器的那一天请你喝一杯……听起来怎么样？哈哈

【解决方案9】：

在 one's 和 two's（甚至是 42's）补码中，都可以证明：

~x + ~y == ~(x + a) + ~(y - a)

现在让a = y 我们有：

~x + ~y == ~(x + y) + ~(y - y)

或：

~x + ~y == ~(x + y) + ~0

因此在~0 = -1的二进制补码中，命题为假。

在~0 = 0 的补码中，命题为真。

【讨论】：

【解决方案10】：

根据 Dennis Ritchie 的书，C 默认情况下不实现补码。因此，您的问题可能并不总是正确的。

【讨论】：

【解决方案11】：

如果位数为n

~x = (2^n - 1) - x
~y = (2^n - 1) - y


~x + ~y = (2^n - 1) +(2^n - 1) - x - y =>  (2^n + (2^n - 1) - x - y ) - 1 => modulo: (2^n - 1) - x - y - 1.

现在，

 ~(x + y) = (2^n - 1) - (x + y) = (2^n - 1) - x - y.

因此，它们总是不相等的，相差 1。

【讨论】：

@nhahtdh 你如何定义对非固定宽度数字的~ 操作？
我用这些位数给出了这个答案，以便很容易与课堂上所教的内容相关联。请注意，~x 高度依赖于用于表示数字的位数 n。因此，在尝试通过实验验证这一点时，坚持一个是明智的。
@hamstergene：我知道位数是固定的，但我的意思是它不必是那些数量（8、16 等）。
这些值很容易编写程序来验证答案。它适用于任何 n，只要写入 ~x 和 ~y 以匹配给定的 .
@hamstergene：我对证明没有问题，只是这些数字给出了错误的暗示，即它只适用于这些情况。