图像处理中的高阶拉普​​拉斯核

Question

在有关数字图像处理的文献中，您可以找到相对低阶的拉普拉斯核的示例，通常为 3 或 5。我想知道，有没有构建拉普拉斯核或任意阶的通用方法？链接或/和参考将不胜感激。

Answer 1

Laplace operator 定义为沿图像每个轴的二阶导数之和。 （即是Hessian矩阵的迹）：

• Δ I = ( ∂²/∂x² + ∂²/∂y² ) 我

有两种常用的离散化方法：

1. 使用有限差分。导数算子是[1,-1]或[0.5,0,-0.5]的卷积，二阶导数算子应用[1,-1]卷积两次，导致与[1,-2,1]的卷积。

2. 与正则化内核的导数卷积。最佳正则化核是高斯，导致高斯拉普拉斯算子。结果是经过高斯核平滑的图像的精确拉普拉斯。

---

另一种方法是用插值内核替换正则化内核。我的一位前同事发表了一篇关于这种方法的论文：

A. Hast，“通过双滤波方法对一阶和二阶导数进行简单滤波器设计”，Pattern Recognition Letters 42(1):65-71, 2014。

他使用了“双滤波器”，但线性滤波器总是可以简化为单卷积。

这个想法很简单，采用一个插值内核，并在整数位置计算它的导数。插值核在原点处始终为 1，在其他整数位置处始终为 0，但它通过这些“结点”波动，这意味着它的导数在这些整数位置处不为零。

在极端情况下，采用理想的插值器，sinc function：

• sinc(x) = sin(πx) / πx

它的second derivative is：

• d²/dx²(sinc(πx)) = [ (2 - π ²x²) sin(πx) - 2πx cos(π x) ] / (πx³)

在 11 个整数位置采样导致：

[ 0.08 -0.125 0.222 -0.5 2 -3 2 -0.5 0.222 -0.125 0.08 ]

但请注意，这里的归一化是不正确的，因为我们要切断无限长的内核。因此，最好选择较短的内核，例如cubic spline kernel。

---

第二种选择是通过傅立叶域计算拉普拉斯算子。这只需要乘以 -πu²-πv² 和 u 和 v 频率。

这是一些 MATLAB 代码，将这个过滤器应用于单位脉冲图像，从而生成大小为 256x256 的内核图像：

[u,v] = meshgrid((-128:127)/256,(-128:127)/256);
Dxx = -4*(pi*u).^2;
Dyy = -4*(pi*v).^2;
L = Dxx + Dyy;
l = fftshift(ifft2(ifftshift(L)));
l = real(l);        % discard insignificant imaginary component (probably not necessary in MATLAB, but Octave leaves these values there)
l(abs(l)<1e-6) = 0; % set near-zero values to zero

l 这里与上述理想插值器的结果相同，将垂直和水平插值相加，标准化长度为 256。

---

最后，我想提一下，拉普拉斯算子对噪声非常敏感（高频显着增强）。这里讨论的方法只对没有鼻子的数据有意义（大概是合成数据？）。对于任何真实世界的数据，我强烈建议您使用 Laplace of Gaussian。这将为您提供平滑图像的精确拉普拉斯。为了防止噪声的影响，需要进行平滑处理。在噪声很小的情况下，您可以使用小的高斯 sigma（例如 σ=0.8）。与任何其他方法相比，这将为您提供更有用的结果。