R函数solve.QP错误“约束不一致，无解！”

Question

我正在尝试通过使用带有以下参数的solve.QP函数（来自quadprog包）来运行优化

R = matrix( c( 2.231113e-05,-4.816095e-05,-5.115287e-05, 0,2.989584e-05,4.212173e-06,0,0, 5.504990e-05), ncol=3, byrow=T)
b = c(-1,0,rep(0,ncol(R)))
C = cbind(rep(1,ncol(R)), diag(ncol(R)))
C = cbind(-rep(1,ncol(R)),C)
d = as.matrix(c(57621264,78057622,171342351),ncol=1)
H = solve.QP(Dmat = R, factorized = TRUE, dvec = d, Amat = C, bvec = b)

但我收到的错误是

Error in solve.QP(Dmat = R, factorized = TRUE, dvec = d, Amat = C, bvec = b) : 
constraints are inconsistent, no solution!

但是，当我为 R 使用不同的矩阵时

R2 = matrix( c( 0.05365071,-0.06364421,-0.04102565, 0, 0.08423283,-0.04048879,0,0,0.09659707), ncol=3, byrow=T)

solve.QP 调用

H = solve.QP(Dmat = R2, factorized = TRUE, dvec = d, Amat = C, bvec = b)

不会引起任何问题。 我现在的问题是为什么在前一种情况下会出现问题。

非常感谢任何帮助！

Answer 1

矩阵 dvec 中的元素非常庞大。您的矩阵 R 是 Dmat 的 cholesky 分解中的上三角矩阵的逆矩阵，即 Dmat = M^T M 其中 M = R^{-1}。所以在未分解的形式：

M <- solve(R) 
Dmat <- t(M)%*%M

Dmat unfactorized 很大，与dvec 的规模大致相同：

#  [,1]       [,2]       [,3]
#[1,] 2008893283 3236243201 1619059085
#[2,] 3236243201 6332319710 2522625866
#[3,] 1619059085 2522625866 1641403882

因此，您的问题可能是由于某种溢出错误造成的。要解决此问题，您可以缩放Dmat（未分解）和dvec：

sc <- norm(Dmat,"2")
solve.QP(Dmat = Dmat/sc, dvec=d/sc, Amat=C, bvec=b, meq=0, factorized=FALSE )

解决办法是

# $solution
# [1] -1.220832e-17  0.000000e+00  1.043877e-01

这与constrOptim在另一个答案中找到的解决方案很好地匹配。

缩放 Dmat 和 dvec 是可以的，因为对于任何常数 sc，-d^T b + 1/2 b^T D b 的约束最小化器与 sc*(-d^T b + 1/2 b^T D b) 的约束最小化器相同。

编辑： 要以分解形式解决问题，您可以尝试以下缩放：

nn2 = sqrt(norm(d,"2"))
H = solve.QP(Dmat = R*nn2, dvec = d/(nn2^2), Amat = C, bvec = b, factorized=TRUE)
#$solution
#[1] 0.0000000 0.0000000 0.1043877

Answer 2

可能有两个问题。首先，您没有输入参数 meq ，它告诉求解器有多少个约束方程是等式约束与多少个是不等式，因此它默认为 meq=0 ，这使它们都成为等式约束，因此您已经过度确定了您的解决方案。看看你的问题，我可能猜想至少最后三个约束是不等式的；即解向量的分量都应该> 0。接下来，第二个方程似乎有点混乱。如果是不等式约束，则与后三个是多余的。如果是等式约束，则与第一个冲突。也许它不应该存在或应该以某种方式进行更改。

------------ 编辑 ---------------------------------- ------------

我对你的第一篇文章的回复有点太快了，现在我明白你所有的约束都是不等式约束，所以你可以使用 meq 的默认值。在我看来，第二个约束与其余约束相比仍然是多余的，但这似乎并没有引起任何问题，所以它现在并不重要。您的编辑还帮助我更好地理解了您的问题，并且我同意您的 R 矩阵示例应该可以在给定的约束下解决。可能是 R 中矩阵元素的大小可能导致solve.QP 的解决方案问题，所以我尝试了一个更通用的非线性约束优化器constrOptim。这为您的 R 和 R2 矩阵提供了解决方案，其中 R2 解决方案非常接近 R2 的 solve.QP 解决方案。

R2 = matrix( c( 0.05365071,-0.06364421,-0.04102565, 0, 0.08423283,-0.04048879,0,0,0.09659707), ncol=3, byrow=T)
R = matrix( c( 2.231113e-05,-4.816095e-05,-5.115287e-05, 0,2.989584e-05,4.212173e-06,0,0, 5.504990e-05), ncol=3, byrow=T)
d = as.matrix(c(57621264,78057622,171342351),ncol=1)
start <- rep(1/(ncol(R)+1), ncol(R))
min_fn <- function(b, dvec, Dmat)  -t(dvec)%*%b +t(b)%*%Dmat%*%b/2
grad_min_fn <- function(b, dvec, Dmat) -dvec + Dmat%*%b
b = c(-1., 0, rep(0,ncol(R)))
C = cbind(rep(1,ncol(R)), diag(ncol(R)))
C = cbind(-rep(1,ncol(R)),C)
D <- t(solve(R))%*%solve(R)
constrOptim(theta=start, f=min_fn, grad=grad_min_fn, ui=t(C), ci=b,     control=list(reltol=10*.Machine$double.eps), 
        dvec=d, Dmat=D )

solve.QP solution for R2
$solution
[1] -1.025463e-10  0.000000e+00  1.000000e+00

constrOptim solution for R2
$par
[1] 2.479855e-15 1.178762e-14 1.000000e+00

以及给出R的解决方案

 $par
[1] 9.272547e-17 5.958225e-14 1.040137e-01

与solve.QP相比，constrOptim提供了更多关于其解决方案路径的信息，因此可能对数值敏感问题更有帮助。
我不知道 constrOptim 是否可以代替 solve.QP 为您工作，但至少它可以帮助您调查问题解决方案的属性。