溢出：递归函数中的数学范围错误

Question

我正在尝试计算 tanh(x) 的根作为练习。

我正在使用 Newton-Raphson 方法，该算法要求进行初始猜测

该算法假定对于大于约 1 的初始猜测不会收敛。但在它到达之前我得到了一个数学范围错误。

这是我正在使用的代码

from math import *
def f(x):#define the function
    return tanh(x)

def fdiv(x):#define its derivative
    return 4*(cosh(x))**2/(cosh(2*x)+1)**2

def Raphson(rx0):
    return (rx0-f(rx0)/fdiv(rx0))#according to the Newton Raphson Method

def Q1_6_Raphson(rx0,Iter=1):
    if Iter > 30:#maximum iterations allowed is 30
        print("Newton Raphson Algorithim did not converge after 30 Trials, try other initial         guesses")
        return
    elif fdiv(rx0)==0:
        print("The initial guess you chose leads to diving by zero in the Newton-Raphson method. Choose another guess")
        return
    print(Iter, 'Newton-Raphson ' +str(rx0) +' error ' +str(rx0-(0)))
    if rx0==0:
        return
    else:
        return Q1_6_Raphson(Raphson(rx0),Iter=Iter+1) # call the function recursively

例如，当我尝试运行 Q1_6Raphson(5) 时，我得到：

Traceback (most recent call last):
  File "<pyshell#101>", line 1, in <module>
Q1_6_Raphson(5)
  File "C:\Users\AsafHaddad\Documents\סמסטר 8\חישובית\Targil_3\Question1.6.py", line 40, in Q1_6_Raphson
    return Q1_6_Raphson(Raphson(rx0),Iter=Iter+1) # call the function recursively
  File "C:\Users\AsafHaddad\Documents\סמסטר 8\חישובית\Targil_3\Question1.6.py", line 33, in Q1_6_Raphson
    elif fdiv(rx0)==0:
  File "C:\Users\AsafHaddad\Documents\סמסטר 8\חישובית\Targil_3\Question1.6.py", line 21, in fdiv
    return 4*(cosh(x))**2/(cosh(2*x)+1)**2
OverflowError: math range error

根据我的阅读，当数字太大时会发生数学范围错误。但我不明白的是，我的代码中调用的每个函数都可以使用 5 作为输入：

>>> f(5)
0.9999092042625951
>>> fdiv(5)
0.00018158323094380672
>>> Raphson(5)
-5501.616437351696

那么问题是什么？什么触发了数学范围错误？

Answer 1

Raphson(5) 调用返回一个很大的负数：

>>> Raphson(5)
-5501.616437351696

这被传递给递归调用：

return Q1_6_Raphson(Raphson(rx0),Iter=Iter+1)

所以Q1_6_Raphson() 是用-5501.616437351696 作为rx0 参数调用的。然后将其传递给fdiv()：

elif fdiv(rx0)==0:

抛出异常，因为该数字大于math.cosh() 可以处理的数字：

>>> fdiv(-5501.616437351696)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<stdin>", line 2, in fdiv
OverflowError: math range error

任何超出范围 [-710, +710] 的值都会抛出该异常；在那个范围内你会得到一个不同的例外：

>>> fdiv(-710)
Traceback (most recent call last):
  File "<stdin>", line 1, in <module>
  File "<stdin>", line 2, in fdiv
OverflowError: (34, 'Result too large')

因为您仍然超出平台浮点支持的限制。

只有 [-177, +177] 范围内的值才会给出结果。

Answer 2

长评：您能否详细说明您是如何获得衍生品的？通过导数的商公式的正常方法只是简单地给出了

d/dx tanh(x)=(cosh(x)**2-sinh(x)**2)/cosh(x)**2
            =1-tanh(x)**2         or
            =1/cosh(x)**2

自从

cosh(2x)=cosh(x)**2+sinh(x)**2=2*cosh(x)**2-1, 

您的衍生金额为

4*(cosh(x))**2/(cosh(2*x)+1)**2 = 1/cosh(x)**2

这样它会给出正确的结果，但这是一个不必要的复杂公式。

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注意：在这个特定的例子中，牛顿迭代可以简化为

xnext = x - 0.5*sinh(2*x)

这个的导数是

d(xnext)/dx = 1 - cosh(2*x) = -2*sinh(x)**2

因此，收缩域由 cosh(2*x)

|x|<0.5*ln(2+sqrt(3))=ln(1+sqrt(3))-0.5*ln(2)